ETEC 2013/1
Considere as informações para responder à questão.
As órbitas dos satélites de comunicação são geoestacionárias e devem ser equatoriais, isto é, estar no plano da linha do Equador terrestre.
Como o nome sugere, um satélite geoestacionário (geo = Terra, estacionário = parado) deve acompanhar a rotação do planeta de forma a ficar sempre parado em relação a um ponto fixo na superfície da Terra.
A figura 1 ilustra a ideia do “campo de visão” de um satélite geoestacionário, ou seja, mostra a região do planeta que o satélite é capaz de cobrir, “enxergar”.
O satélite envia sinais eletromagnéticos para a Terra, e o que delimita a região coberta pelos sinais é o fato de o planeta ser esférico. Desta forma, os sinais recebidos ou transmitidos, entre o satélite e a Terra, ficam confinados num cone cuja intersecção com a superfície da Terra determina a área de cobertura do satélite.
É nesta região da superfície da Terra que podemos colocar antenas capazes de trocar sinais eletromagnéticos com o satélite.
Figura 1
No exemplo da figura 1, os sinais emitidos pelo satélite, no limite, “tocam” o planeta nos pontos \(T_1\ e\ T_2\)
Na figura 2, apresenta-se um modelo matemático simplificado da posição do satélite S em relação à Terra.
Figura 2
Na figura 2, temos:
• Ponto S: satélite (considerado como um ponto no espaço).
• As semirretas \(\vec ST_1\ e\ \vec ST_2\) tangentes à superfície da Terra nos pontos \(T_1\ e\ T_2,\) respectivamente.
• Ponto C: centro da Terra e da órbita do satélite S.
• Quadrilátero \(ST_1CT_2:\) : figura plana.
• R: medida do raio da Terra.
• r: medida do raio da órbita do satélite S.
• θ: medida do ângulo \(S\hat CT_1.\)
Note que θ corresponde à latitude máxima que o sinal do satélite pode alcançar.
Considerando os valores aproximados de 6 400 km para o raio da Terra e 42 000 km para o raio da órbita do satélite geoestacionário S, determina-se que θ = 81,2°.
Conclusão: um satélite geoestacionário cobre uma região entre as latitudes 81,2° N e 81,2° S.
Essa região não chega aos polos geográficos da Terra. Mas chega quase lá. E isso não é nenhum problema porque ninguém, aparentemente, vai querer transmitir sinais de TV ou internet para ursos polares ou pinguins, vai?!
(fisicamoderna.blog.uol.com.br/arch2008-03-16_2008-03-22.html Acesso em: 12.08.2012. Adaptado)
De acordo com o texto, conclui-se que a medida do ângulo \(T_1\hat ST_2\) é
\(8,8^{\circ}.\)
\(13,2^{\circ}.\)
\(17,6^{\circ}.\)
\(22,0^{\circ}.\)
\(26,4^{\circ}.\)
Resolução
O quadrilátero \(ST_1CT_2\) mostrado na figura 2 pertence a um mesmo plano. Observe o triângulo retângulo \(\triangle ST_1C\):
- \(\angle T_1\) é reto, pois \(\overline{CT_1}\) é raio e \(\overline{ST_1}\) é tangente à circunferência terrestre (raio ⟂ tangente).
- \(\angle S\hat CT_1 = \theta = 81{,}2^{\circ}\).
- Se chamarmos \(\angle T_1\hat S C = \varphi\), então, pela soma dos ângulos internos de um triângulo, \[90^{\circ}+\theta + \varphi = 180^{\circ}\Longrightarrow \varphi = 90^{\circ}-\theta.\]
Substituindo \(\theta = 81{,}2^{\circ}\):
\[\varphi = 90^{\circ}-81{,}2^{\circ}=8{,}8^{\circ}.\]Como a situação é simétrica em relação ao segmento \(\overline{CS}\), o triângulo \(\triangle ST_2C\) é congruente a \(\triangle ST_1C\) e apresenta o mesmo ângulo \(\varphi\) em \(S\).
Portanto, o ângulo solicitado, \(\angle T_1\hat S T_2\), é o dobro de \(\varphi\):
\[\angle T_1\hat S T_2 = 2\varphi = 2\times 8{,}8^{\circ}=17{,}6^{\circ}.\]Resposta: 17,6° (alternativa C).
Dicas
Erros Comuns
- Tangente a uma circunferência: o raio traçado ao ponto de tangência é perpendicular à tangente.
- Soma dos ângulos internos de um triângulo: sempre vale 180°.
- Simetria: no problema, os pontos \(T_1\) e \(T_2\) são simétricos em relação ao segmento \(\overline{CS}\), garantindo dois triângulos congruentes.
