UFAM 2015
Considere as afirmativas a seguir:
I. Três pontos distintos não colineares determinam um plano.
II. Um plano pode ser determinado por duas retas concorrentes.
III. Duas retas distintas são paralelas se, e somente se, são coplanares.
IV. Por um ponto de uma reta existem infinitos planos perpendiculares a essa reta.
V. Se um plano intercepta dois planos paralelos então as interseções destes planos são duas retas paralelas.
Pode-se afirmar que:
Somente as afirmativas I, II e V são verdadeiras.
Somente as afirmativas I, IV e V são verdadeiras.
Somente as afirmativas I, III e V são verdadeiras.
Somente as afirmativas I, II e IV são falsas.
Somente as afirmativas I, III e IV são falsas.
Resolução
Solução passo a passo
Vamos analisar cada uma das afirmações, valendo-nos dos postulados e propriedades fundamentais da Geometria Espacial.
Afirmação I
“Três pontos distintos não colineares determinam um plano.”
Postulado clássico: quaisquer três pontos distintos, quando não colineares, formam exatamente um plano. Logo, a afirmativa I é verdadeira.
Afirmação II
“Um plano pode ser determinado por duas retas concorrentes.”
Duas retas concorrentes se cruzam num ponto; como cada reta contém infinitos pontos colineares e existe um ponto comum, as duas juntas geram um único plano. Portanto, a afirmativa II é verdadeira.
Afirmação III
“Duas retas distintas são paralelas se, e somente se, são coplanares.”
Ser coplanar é condição necessária, mas não suficiente, para o paralelismo. Duas retas coplanares podem também ser concorrentes. Assim, o “se e somente se” torna a proposição falsa. A afirmativa III é falsa.
Afirmação IV
“Por um ponto de uma reta existem infinitos planos perpendiculares a essa reta.”
Se um plano é perpendicular a uma reta, então essa reta é normal ao plano. Dado um ponto da reta, apenas um plano pode ter a reta como normal e passar por esse ponto (basta visualizar a reta como eixo vertical; o único plano perpendicular é o horizontal que a corta nesse ponto). Logo, a afirmativa IV é falsa.
Afirmação V
“Se um plano intercepta dois planos paralelos, então as interseções desses planos são duas retas paralelas.”
Quando um terceiro plano corta dois planos paralelos, as linhas de interseção são obrigatoriamente paralelas, pois formam ângulos correspondentes congruentes entre si. Portanto, a afirmativa V é verdadeira.
Conclusão
As únicas proposições verdadeiras são I, II e V.
Alternativa correta: A
Dicas
Erros Comuns
- Determinação de um plano: três pontos não colineares, duas retas paralelas ou duas retas concorrentes determinam um plano.
- Coplanaridade vs. paralelismo: retas paralelas precisam ser coplanares, mas retas coplanares podem ou não ser paralelas.
- Perpendicularidade linha-plano: se uma reta é perpendicular ao plano, ela é a normal do plano; nesse ponto existe apenas um plano com essa condição.
- Interseção de planos paralelos: um terceiro plano corta planos paralelos gerando retas paralelas.
