ENEM 2009

O problema pede para identificar três lâmpadas, dentre as oito idênticas (L1 a L8) instaladas no circuito mostrado, que acendem com o mesmo brilho. Lâmpadas incandescentes idênticas acendem com o mesmo brilho se a corrente elétrica que passa por elas for a mesma, pois o brilho está relacionado à potência dissipada (P), e para resistores idênticos (R), a potência é dada por \( P = R \cdot I^2 \). Portanto, devemos encontrar três lâmpadas percorridas pela mesma corrente I.

Vamos analisar o circuito elétrico fornecido:

Seja R a resistência de cada lâmpada e V a tensão fornecida pela bateria E.

1. A corrente total (I_total) sai da bateria e passa pela lâmpada L1. Portanto, L1 é percorrida pela corrente total.

2. Após L1, a corrente se divide em três ramos principais em paralelo. Vamos chamar o nó após L1 de P e o nó antes do terminal negativo da bateria de Q.

3. Ramo 1: Contém as lâmpadas L2 e L3 em série. A resistência equivalente deste ramo é \( R_{23} = R + R = 2R \). A corrente neste ramo é \( I_{23} \), e como L2 e L3 estão em série, \( I_2 = I_3 = I_{23} \).

4. Ramo 2: Contém a lâmpada L4 em série com uma combinação de outras lâmpadas. Após L4, há um nó (vamos chamá-lo de R). Após L7 (do Ramo 3), há outro nó (vamos chamá-lo de S). Os nós R e S estão conectados por um fio, o que significa que têm o mesmo potencial elétrico. Podemos tratá-los como um único nó RS.

5. Ramo 3: Contém a lâmpada L7 em série com a mesma combinação de outras lâmpadas que L4.

6. Combinação após L4 e L7: Do nó RS, a corrente se divide novamente em dois caminhos que se recombinam no nó Q:

* Caminho A: Lâmpadas L5 e L6 em série. Resistência \( R_{56} = R + R = 2R \). A corrente neste caminho é \( I_{56} \), e \( I_5 = I_6 = I_{56} \). * Caminho B: Lâmpada L8. Resistência \( R_8 = R \). A corrente neste caminho é \( I_8 \).

7. A resistência equivalente da combinação em paralelo (L5+L6) e L8, conectada entre RS e Q, é: \[ \frac{1}{R_{par}} = \frac{1}{R_{56}} + \frac{1}{R_8} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{1+2}{2R} = \frac{3}{2R} \] \[ R_{par} = \frac{2R}{3} \]

8. Agora podemos calcular a resistência total dos Ramos 2 e 3 (que vão de P a Q): * Resistência do Ramo 2 (passando por L4): \( R_{ramo4} = R_{L4} + R_{par} = R + \frac{2R}{3} = \frac{5R}{3} \). * Resistência do Ramo 3 (passando por L7): \( R_{ramo7} = R_{L7} + R_{par} = R + \frac{2R}{3} = \frac{5R}{3} \).

9. Os três ramos (Ramo 1, Ramo 2, Ramo 3) estão em paralelo entre os nós P e Q. A tensão \( V_{PQ} \) é a mesma para os três ramos.

10. Calculamos as correntes nos ramos em função de \( V_{PQ} \) e R: * \( I_2 = I_3 = I_{23} = \frac{V_{PQ}}{R_{23}} = \frac{V_{PQ}}{2R} \) * \( I_4 = \frac{V_{PQ}}{R_{ramo4}} = \frac{V_{PQ}}{(5R/3)} = \frac{3V_{PQ}}{5R} \) * \( I_7 = \frac{V_{PQ}}{R_{ramo7}} = \frac{V_{PQ}}{(5R/3)} = \frac{3V_{PQ}}{5R} \)

11. Vemos que \( I_4 = I_7 \). Portanto, as lâmpadas L4 e L7 têm a mesma corrente e o mesmo brilho.

12. Comparamos \( I_2 \) e \( I_4 \): \( \frac{I_2}{I_4} = \frac{V_{PQ}/(2R)}{3V_{PQ}/(5R)} = \frac{1}{2R} \cdot \frac{5R}{3} = \frac{5}{6} \). Logo, \( I_2 = \frac{5}{6} I_4 \). As correntes \( I_2 \) (e \( I_3 \)) não são iguais a \( I_4 \) (e \( I_7 \)).

13. Agora, calculamos as correntes \( I_5, I_6, I_8 \). A tensão no trecho paralelo (RS a Q) é \( V_{RSQ} \). A corrente total que entra nesse trecho é \( I_4 + I_7 \). \( V_{RSQ} = (I_4 + I_7) \cdot R_{par} = (I_4 + I_7) \cdot \frac{2R}{3} \). Como \( I_4 = I_7 \), \( V_{RSQ} = (2I_4) \cdot \frac{2R}{3} = \frac{4I_4 R}{3} \). * \( I_5 = I_6 = I_{56} = \frac{V_{RSQ}}{R_{56}} = \frac{(4I_4 R / 3)}{2R} = \frac{2I_4}{3} \) * \( I_8 = \frac{V_{RSQ}}{R_8} = \frac{(4I_4 R / 3)}{R} = \frac{4I_4}{3} \)

14. Resumo das correntes em termos de uma referência, por exemplo, \( k = V_{PQ}/R \): * \( I_2 = I_3 = k/2 = 0.5k \) * \( I_4 = I_7 = 3k/5 = 0.6k \) * \( I_5 = I_6 = (2/3)I_4 = (2/3)(3k/5) = 2k/5 = 0.4k \) * \( I_8 = (4/3)I_4 = (4/3)(3k/5) = 4k/5 = 0.8k \) * \( I_1 = I_{total} = I_{23} + I_4 + I_7 = k/2 + 3k/5 + 3k/5 = k/2 + 6k/5 = k(5+12)/10 = 1.7k \)

15. Ordenando as correntes (proporcionais ao brilho): \( I_5 = I_6 < I_2 = I_3 < I_4 = I_7 < I_8 < I_1 \).

16. Identificamos os pares de lâmpadas com correntes iguais: * L2 e L3 (\( 0.5k \)) * L4 e L7 (\( 0.6k \)) * L5 e L6 (\( 0.4k \))

17. Conclusão da Análise: De acordo com a análise padrão do circuito, não há três lâmpadas com a mesma corrente. Existem três pares de lâmpadas com correntes iguais entre si, mas diferentes das outras.

18. Discrepância com as Opções: Nenhuma das opções (A, B, C, D, E) apresenta um conjunto de três lâmpadas que, segundo nossa análise, possuem a mesma corrente. A opção B (L2, L3, L4) sugere que \( I_2 = I_3 = I_4 \), mas calculamos que \( I_2 = I_3 = 0.5k \) e \( I_4 = 0.6k \), que são diferentes.

19. Considerando um Possível Erro na Questão/Gabarito: Dado que a questão tem uma alternativa marcada como correta (B), pode haver um erro no diagrama, na formulação da questão ou no gabarito. Se fôssemos forçados a escolher a 'melhor' opção apesar da inconsistência, ou se assumíssemos uma interpretação não padrão (o que não é recomendado), não há base física clara para escolher B. No entanto, em situações de prova onde uma resposta *deve* ser marcada e há indicação de gabarito, o estudante pode ficar em uma posição difícil. A análise rigorosa indica que nenhuma opção é correta.

Nota Final: Assumindo que a intenção da questão pode ter sido simplificada ou houve erro, e seguindo o gabarito fornecido (B), a justificativa formal baseada na física do circuito não se sustenta. Apresentamos a análise correta acima, que leva à conclusão de que não há três lâmpadas com brilho igual.