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PUC-Rio Inverno 2019
Considere a reta de equação y = 2x e a parábola de equação y = x2 - 3x + 6. Sejam (x0, y0) e (x1, y1) os pontos de interseção entre a reta e a parábola.
Quanto vale x0 + x1?
a
0
b
3
c
5
d
7
e
19
Ver resposta
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Resposta
C
Resolução
Para determinar \(x_0+x_1\) basta encontrar as abscissas dos pontos de interseção entre a reta e a parábola.
1. Igualamos as expressões de \(y\):
\[
2x = x^2 - 3x + 6.
\]
2. Trazendo tudo para o mesmo lado, obtemos a equação quadrática
\[
x^2 - 5x + 6 = 0.
\]
3. Fatorando:
\[
(x-2)(x-3) = 0 \;\Longrightarrow\; x_0 = 2 \text{ e } x_1 = 3.
\]
4. O que se pede é a soma dessas raízes:
\[
x_0 + x_1 = 2 + 3 = 5.
\]
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
Dicas
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Iguale 2x com x² – 3x + 6 para obter uma única equação em x.
Você não precisa achar cada raiz separadamente: lembre-se da relação \(x_0+x_1 = -b/a\) em uma equação quadrática.
Compare o resultado com as alternativas antes de calcular y.
Erros Comuns
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Resolver a interseção corretamente, mas, ao final, somar os valores de y em vez dos de x.
Esquecer de trocar o sinal na fórmula da soma das raízes, concluindo que \(x_0+x_1 = -5\).
Fatorar incorretamente o trinômio, por exemplo \((x-1)(x-6)=0\).
Revisão
Igualdade de funções: dois gráficos se interceptam quando seus valores de \(y\) coincidem, ou seja, quando as equações têm a mesma saída para o mesmo \(x\).
Equação quadrática: toda equação do tipo \(ax^2+bx+c=0\) pode ser resolvida por fatoração, fórmula de Bhaskara ou soma e produto das raízes.
Soma das raízes: se \(ax^2+bx+c=0\), então \(x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}\). Essa propriedade pode poupar cálculos se não for necessário obter cada raiz individualmente.
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