UCPEL 2017
Considerando que as três retas no plano xy dadas pelas equações
y = 2 4x, x + 4y 3 = 0 e y = 2b 3x
interceptam-se num ponto P, pode-se afirmar que o valor de b é
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{5}{6}\)
\(\frac{5}{3}\)
Resolução
Se as três retas passam por um mesmo ponto P, basta:
- Encontrar o ponto de interseção das duas retas cujo coeficiente b não aparece;
- Impor que esse ponto pertença à terceira reta para descobrir b.
1. Pontos em comum das duas primeiras retas
Retas sem b:
\(y = 2 - 4x\) e \(x + 4y - 3 = 0\;\Rightarrow\;y = \dfrac{3 - x}{4}\)
Iguais os valores de \(y\):
\(2 - 4x = \dfrac{3 - x}{4}\)
Multiplicando por 4: \(8 - 16x = 3 - x\)
\(-15x = -5 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{1}{3}\)
Substituindo em \(y = 2 - 4x\):
\(y = 2 - 4\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{6 - 4}{3} = \dfrac{2}{3}\)
Logo, \(P\bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\bigr)\).
2. Impor que P pertença à terceira reta
Terceira reta: \(y = 2b - 3x\).
Substituindo \(x = \tfrac{1}{3},\; y = \tfrac{2}{3}\):
\(\dfrac{2}{3} = 2b - 3\cdot\dfrac{1}{3} = 2b - 1\)
\(2b = \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{3} = \dfrac{5}{3}\)
\(b = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\)
Resposta
\(b = \dfrac{5}{6}\). Alternativa D.
Dicas
Erros Comuns
- Ponto de interseção de duas retas: resolve‑se um sistema 2×2 formado pelas equações das retas.
- Concorrência de três retas: se duas delas determinam um ponto P, a terceira reta será concorrente se P satisfizer sua equação.
- Substituição: método prático para resolver sistemas lineares de equações.
