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UESB Caderno 2 2012
Com base nos dados obtidos no Censo, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) pode fazer estimativas, modelagens e projeções sobre, por exemplo, o crescimento da população de uma cidade.
Suponha que, em certa cidade, o número de habitantes seja dado pela função P(r) = a.23r, em que a é constante e r, que é o raio da distância a partir do centro dessa cidade, é positivo e dado em quilômetros. Sabe-se que existem 20 480 habitantes num raio de 4km, contados desde o centro.
Nessas condições, o número de habitantes, a um raio de 6km do centro, dessa cidade é igual a
a
1 160 680
b
1 240 360
c
1 310 720
d
1 480 440
e
1 670 860
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Resposta
C
Resolução
Resolução passo a passo
- A função que indica o número de habitantes dentro de um raio \(r\) (em km) é \[P(r)=a\cdot 2^{3r}.\]
- Sabe-se que a cidade possui \(20\,480\) habitantes num raio de \(4\,\text{km}\). Logo, \[P(4)=a\cdot 2^{3\cdot4}=a\cdot 2^{12}=20\,480.\]
- Como \(2^{12}=4096\), temos \[a=\frac{20\,480}{4096}=5.\]
- A função populacional fica, então, \[P(r)=5\cdot 2^{3r}.\]
- Para um raio de \(6\,\text{km}\), calcula-se \[P(6)=5\cdot 2^{3\cdot6}=5\cdot 2^{18}.\]
- Sabendo que \(2^{10}=1024\) e \(2^{8}=256\), resulta \[2^{18}=2^{10}\cdot2^{8}=1024\times256=262\,144.\]
- Finalmente, \[P(6)=5\times262\,144=1\,310\,720.\]
Resposta: 1 310 720 habitantes.
Dicas
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1. Primeiro descubra o valor da constante a usando r = 4.
2. Lembre que 2^{12} = 4096.
3. Depois substitua r = 6 e calcule 2^{18}.
Erros Comuns
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Dividir 20 480 por 4096 incorretamente, obtendo a diferente de 5.
Usar 2^{16} ou 2^{17} em vez de 2^{18} para r = 6.
Confundir multiplicação por 3r com elevação da base (tratar 3r como 3·2^{r} ).
Revisão
- Função exponencial: tem a forma \(f(x)=b\cdot a^{x}\), com \(a>0\) e \(a\neq1\). Cresce (ou decresce) multiplicando-se por uma razão fixa.
- Equacionar dados: quando um valor da função é conhecido, substitui-se para encontrar a constante desconhecida.
- Potências de 2: conhecer potências usuais (\(2^{10}=1024\), \(2^{12}=4096\), \(2^{8}=256\)) agiliza cálculos mentais.
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