IFAL 2009/2
Com base na equação |x|2 - 6|x| = - log2 256, analise as afirmações a seguir:
I. S = { 2, 4 }
II. S = {-4, -2, 2, 4}
III. S = Ø
Somente a afirmação I é falsa.
A afirmação II é verdadeira.
As afirmações I e II são falsas.
Todas as afirmações são falsas.
Não existem afirmações falsas.
Resolução
Seja \(x\in\mathbb R\). Começamos pela equação
\[|x|^{2}-6|x|=-\log_{2}256.\]
1. Cálculo do termo logarítmico
Sabemos que \(256=2^{8}\), logo
\[\log_{2}256=8\quad\Longrightarrow\quad-\log_{2}256=-8.\]
2. Substituição do valor encontrado
Assim, a equação torna-se
\[|x|^{2}-6|x|=-8.\]
3. Redução a uma equação quadrática
Definimos \(y=|x|\), com \(y\ge0\). Então:
\[y^{2}-6y+8=0.\]
4. Resolução da quadrática
Discriminante: \(\Delta=b^{2}-4ac=36-32=4\).
Raízes: \(y=\dfrac{6\pm\sqrt{4}}{2}=\dfrac{6\pm2}{2}\Rightarrow y\in\{2,4\}.\)
5. Retorno à variável original
Como \(y=|x|\), temos \[|x|=2\quad\text{ou}\quad|x|=4\;\Longrightarrow\;x\in\{-4,-2,2,4\}.\]
6. Análise das afirmações
- I. \(S=\{2,4\}\): falsa (faltam os valores negativos).
- II. \(S=\{-4,-2,2,4\}\): verdadeira.
- III. \(S=\varnothing\): falsa.
Portanto, apenas a afirmação II é verdadeira.
Resposta: alternativa B.
Dicas
Erros Comuns
- Valor absoluto: \(|x|\) é sempre não-negativo; muitas vezes substituímos \(|x|\) por uma nova variável não-negativa para simplificar.
- Equação quadrática: qualquer equação da forma \(ay^{2}+by+c=0\) pode ser resolvida via discriminante \(\Delta=b^{2}-4ac\).
- Logaritmos: \(\log_{a}b=c\) significa \(a^{c}=b\). Reconhecer potências de 2 ajuda a simplificar rapidamente \(\log_{2}256\).
