PUC-MG 2021
Com a interrupção da rodovia que liga as cidades B e D, representadas na figura, os motoristas que saíam de B e pretendiam chegar até D foram orientados a viajar pela estrada que liga B a C, seguir pela rodovia que vai de C até E para, então, percorrer o caminho que liga E a D.
Na figura, os segmentos AE e BD são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento AB; C é o ponto médio do segmento FE; DEF é um triângulo equilátero. Além disso, a distância de A até F mede 10 km, e a distância de D até E, 6 km.
Com base nesses dados, é CORRETO afirmar que a diferença entre o percurso BCED e a distância entre B e D, em quilômetros, é igual a
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Resolução
1. Organizando as informações da figura
- \(AE\) e \(BD\) são paralelos e perpendiculares a \(AB\). Logo, \(AB\) é vertical e \(AE\) e \(BD\) são horizontais.
- \(AF = 10\;\text{km}\).
- \(\triangle DEF\) é equilátero e \(DE = 6\;\text{km}\). Assim,
\(DE = EF = FD = 6\;\text{km}\). - \(C\) é ponto médio de \(FE\), portanto \(FC = CE = 3\;\text{km}\).
2. Colocando tudo num sistema de coordenadas
- Seja \(A = (0,0)\). Como \(AE\) é horizontal, a reta \(AE\) fica sobre o eixo \(x\).
- Como \(AF = 10\), temos \(F = (10,0)\).
- \(FE = 6\) é horizontal, logo \(E = (10+6,0) = (16,0)\).
- \(C\) é o ponto médio de \(FE\): \(C = \left(\dfrac{10+16}{2},0\right) = (13,0)\).
3. Encontrando \(D\)
O triângulo \(DEF\) é equilátero. Seu centro da base é \(C\), e a altura de um triângulo equilátero de lado \(6\) vale
\[h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36-9} = \sqrt{27} = 3\sqrt3.\]Escolhendo o vértice acima da base,
\[D = (13,\,3\sqrt3).\]4. Encontrando \(B\)
Como \(BD\) é horizontal, \(B\) tem a mesma ordenada de \(D\):
\[B = (0,\,3\sqrt3).\]5. Calculando as distâncias necessárias
- Distância \(BD\):
\[BD = 13\;\text{km}.\] - Distância \(BC\):
\[BC = \sqrt{(13-0)^2 + (0-3\sqrt3)^2} = \sqrt{13^2 + (3\sqrt3)^2} = \sqrt{169 + 27} = \sqrt{196} = 14\;\text{km}.\] - Distância \(CE = 3\;\text{km}\) (horizontal).
- Distância \(ED = 6\;\text{km}\) (lado do triângulo equilátero).
6. Comprimento do percurso alternativo
\[BC + CE + ED = 14 + 3 + 6 = 23\;\text{km}.\]7. Diferença entre o percurso alternativo e a ligação direta
\[(BCED) - BD = 23 - 13 = 10\;\text{km}.\]Resposta: 10 (opção B).
Dicas
Erros Comuns
- Triângulo equilátero: possui os três lados congruentes e a altura é \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) do lado.
- Ponto médio: divide um segmento em duas partes iguais.
- Distância entre dois pontos: \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
- Construção de eixos coordenados: posicionar convenientemente a figura facilita os cálculos das distâncias.
