ENEM 2012

Para resolver esta questão, precisamos traduzir a descrição do cálculo do salário do vendedor em uma função matemática e, em seguida, identificar qual dos gráficos representa corretamente essa função. O salário (S) depende do número de produtos vendidos (x).

A descrição do salário é dividida em duas partes, dependendo da quantidade de produtos vendidos:

1. Se o número de produtos vendidos $x$ for menor ou igual a 100 ($0\le x\le 100$):

   O salário é composto por um valor fixo de R$ 750,00 mais uma comissão de R$ 3,00 por produto vendido.

   A fórmula para o salário nesta faixa é: $S(x)=750+3x$

   Esta é uma função afim (linear) com coeficiente linear (intercepto y) igual a 750 e coeficiente angular (inclinação) igual a 3.

   Vamos calcular o salário para $x=0$ e $x=100$:

   • Se $x=0$, $S(0)=750+3(0)=750$. O gráfico deve começar no ponto (0, 750).
   • Se $x=100$, $S(100)=750+3(100)=750+300=1050$. O gráfico deve passar pelo ponto (100, 1050).

2. Se o número de produtos vendidos $x$ for maior que 100 ($x>100$):

   O salário inclui o valor fixo (R$ 750,00), a comissão pelos primeiros 100 produtos (R$ 3,00 cada) e uma nova comissão de R$ 9,00 para cada produto vendido além dos 100 primeiros.

   O número de produtos vendidos além dos 100 é $x-100$.

   A fórmula para o salário nesta faixa é:

   $S(x)=750+(3\times 100)+9\times (x-100)$

   Simplificando a expressão:

   $S(x)=750+300+9x-900$

   $S(x)=1050+9x-900$

   $S(x)=150+9x$

   Esta também é uma função afim, mas com coeficiente angular (inclinação) igual a 9.

   Vamos verificar o valor da função no ponto de transição (embora $x=100$ não pertença a esta faixa, o limite quando $x$ se aproxima de 100 por valores maiores deve coincidir com $S(100)$ da primeira faixa para que o gráfico seja contínuo):

   Para $x=100$ (usando a segunda fórmula como limite): $S(100)=150+9(100)=150+900=1050$. Isso confirma que a função é contínua no ponto (100, 1050).

Resumindo a função Salário (S) em relação a Produtos Vendidos (x):

Análise dos Gráficos:

• O gráfico deve começar em (0, 750).
• Deve ser uma linha reta com inclinação positiva (igual a 3) de $x=0$ até $x=100$.
• No ponto $x=100$, o salário deve ser R$ 1050,00, ou seja, o gráfico passa por (100, 1050).
• Para $x>100$, o gráfico deve continuar como uma linha reta, mas com uma inclinação maior (igual a 9), ou seja, deve ficar mais íngreme.

Avaliando as opções:

• Gráfico A: Começa em (0, 750), é uma reta única com inclinação constante. Não representa a mudança de comissão.
• Gráfico B: Começa em (0, 750), mas a inclinação diminui após $x=100$. Incorreto.
• Gráfico C: Começa em (0, 750), fica constante até $x=100$ e depois aumenta. Incorreto, pois a comissão de R$ 3,00 já se aplica desde o primeiro produto.
• Gráfico D: Representa um salário constante de R$ 750,00, ignorando as comissões. Incorreto.
• Gráfico E: Começa em (0, 750). É uma reta crescente até $x=100$. No ponto $x=100$, o valor no eixo y está em 1050 (entre 1000 e 1250, um pouco acima de 1000). Após $x=100$, a reta continua a crescer, mas com uma inclinação visivelmente maior (mais íngreme). Este gráfico corresponde perfeitamente à descrição.

Portanto, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e número de produtos vendidos é o gráfico E.