IFAL 2018/1
Certo fabricante, segundo levantamentos estatísticos, percebe que seus clientes não têm comprado mais de 100 de seus produtos por compras. Para incentivar as compras em maior quantidade, ele estabelece um preço unitário p por produto dado pela função p(x) = 400 – x, onde x é a quantidade de produtos comprados, considerando uma compra de, no máximo, 300 produtos. Sabendo-se que a receita de uma empresa é o valor arrecadado com a venda de uma certa quantidade de produtos, qual a receita máxima que essa empresa pode ter quando fechar uma venda com um determinado cliente, na moeda corrente no Brasil?
R$ 200,00.
R$ 400,00.
R$ 20.000,00.
R$ 40.000,00.
R$ 80.000,00.
Resolução
O preço unitário, em reais, é dado por \(p(x)=400-x\), onde \(x\) é a quantidade de produtos (com \(0\le x\le 300\)).
A receita \(R(x)\) corresponde ao valor arrecadado com a venda de \(x\) produtos, isto é:
\[R(x)=x\cdot p(x)=x(400-x)=400x-x^{2}.\]
Trata-se de uma função quadrática concava (coeficiente do termo quadrático negativo), cujo valor máximo ocorre no vértice da parábola.
Para uma função \(R(x)=ax^{2}+bx+c\) com \(a\lt0\), o x-do-vértice é dado por \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\). No nosso caso \(a=-1\) e \(b=400\):
\[x_v=-\dfrac{400}{2(-1)}=200.\]
Logo, a quantidade que maximiza a receita é \(x=200\) produtos (valor dentro do intervalo permitido).
Substituindo em \(R(x)\):
\[R(200)=400\cdot200-200^{2}=80\,000-40\,000=40\,000.\]
Portanto, a receita máxima que a empresa pode obter numa venda a um cliente é de R\$ 40.000,00.
Dicas
Erros Comuns
- Função Receita: produto da quantidade pelo preço unitário.
- Função quadrática concava: quando o coeficiente de \(x^{2}\) é negativo, há um ponto de máximo no vértice.
- Vértice: em \(ax^{2}+bx+c\), o x-do-vértice é \(-\dfrac{b}{2a}\); a substituição fornece o valor máximo ou mínimo.
