ENEM 2010 segunda aplicação
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário determinar a altura da nova embalagem.
Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco (a) com a altura da embalagem tradicional (h)?
\( a = \frac{h}{12} \)
\( a = \frac{h}{6} \)
\( a = \frac{2h}{3} \)
\( a = \frac{4h}{3} \)
\( a = \frac{4h}{9} \)
Resolução
Passo a Passo da Solução:
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Definir as variáveis:
- Seja \(V_t\) o volume da embalagem tradicional, \(r_t\) o raio da base da embalagem tradicional e \(h\) a altura da embalagem tradicional.
- Seja \(V_n\) o volume da nova embalagem, \(r_n\) o raio da base da nova embalagem e \(a\) a altura da nova embalagem.
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Escrever a fórmula do volume do cilindro para ambas as embalagens:
- Volume da embalagem tradicional: \(V_t = \pi r_t^2 h\)
- Volume da nova embalagem: \(V_n = \pi r_n^2 a\)
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Traduzir as informações do problema em equações:
- "reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade": Isso significa que o volume da nova embalagem é um terço do volume da tradicional.
\(V_n = \frac{1}{3} V_t\) - "reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na construção da nova embalagem": Isso significa que o raio da nova embalagem é metade do raio da tradicional.
\(r_n = \frac{1}{2} r_t\)
- "reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade": Isso significa que o volume da nova embalagem é um terço do volume da tradicional.
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Substituir as expressões dos volumes na relação entre eles:
Substituímos \(V_n = \pi r_n^2 a\) e \(V_t = \pi r_t^2 h\) na equação \(V_n = \frac{1}{3} V_t\):
\[\pi r_n^2 a = \frac{1}{3} (\pi r_t^2 h)\] -
Substituir a relação entre os raios na equação obtida:
Sabemos que \(r_n = \frac{1}{2} r_t\). Vamos substituir \(r_n\) na equação:
\[\pi \left(\frac{1}{2} r_t\right)^2 a = \frac{1}{3} (\pi r_t^2 h)\] -
Simplificar a equação:
Primeiro, calculamos o quadrado do raio:
\[\pi \left(\frac{1}{4} r_t^2\right) a = \frac{1}{3} \pi r_t^2 h\] Agora, podemos simplificar a equação. Note que \(\pi\) e \(r_t^2\) aparecem em ambos os lados (e como \(r_t > 0\) para um cilindro existir, podemos dividir ambos os lados por \(\pi r_t^2\)):
\[\frac{1}{4} a = \frac{1}{3} h\] -
Isolar a variável 'a' (altura da nova embalagem):
Para encontrar a relação entre \(a\) e \(h\), multiplicamos ambos os lados da equação por 4:
\[a = \frac{4}{3} h\] -
Concluir:
A expressão que relaciona a medida da altura da nova embalagem (a) com a altura da embalagem tradicional (h) é \(a = \frac{4}{3} h\).
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
Para resolver esta questão, é fundamental conhecer a fórmula do volume de um cilindro circular reto. Um cilindro é um sólido geométrico com duas bases circulares paralelas e congruentes e uma superfície lateral curva.
O volume \(V\) de um cilindro é calculado multiplicando-se a área da base \(A_b\) pela altura \(h\).
- A área da base de um cilindro é a área de um círculo de raio \(r\): \(A_b = \pi r^2\)
- Portanto, a fórmula do volume do cilindro é: \[V = A_b \times h = \pi r^2 h\]
A questão envolve a comparação entre dois cilindros, onde as dimensões (raio e altura) e o volume de um estão relacionados aos do outro. É crucial saber como manipular algebricamente as equações que representam essas relações.
