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URCA 2020/1
Calcule a área do triângulo retângulo com hipotenusa igual a \(1\) e tangente do ângulo agudo α igual a \(\sqrt{8}.\)
a
\(2\)
b
\(\frac{\sqrt{8}+1}{9}\)
c
\(\sqrt{8}\)
d
\(\frac{\sqrt{8}}{9}\)
e
\(\frac{\sqrt{8}}{18}\)
Ver resposta
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Resposta
E
Resolução
\(\textbf{1. Relação entre os catetos}\)
Seja \(a\) o cateto oposto ao ângulo \(\alpha\) e \(b\) o cateto adjacente. A tangente é definida por
\[ \tan \alpha = \frac{a}{b}=\sqrt{8}. \]
Logo, \(a=b\,\sqrt{8}.\)
\(\textbf{2. Uso da hipotenusa}\)
A hipotenusa vale 1, e num triângulo retângulo vale
\[ a^{2}+b^{2}=1^{2}. \]
Substituindo \(a=b\sqrt{8}\):
\[ (b\sqrt{8})^{2}+b^{2}=1 \Rightarrow 8b^{2}+b^{2}=1 \Rightarrow 9b^{2}=1 \Rightarrow b^{2}=\frac{1}{9}. \]
Como \(b>0\), obtém-se \(b=\frac{1}{3}.\)
Então
\[ a = b\sqrt{8}=\frac{\sqrt{8}}{3}. \]
\(\textbf{3. Área do triângulo}\)
\[ A = \frac{a\,b}{2}=\frac{\left(\frac{\sqrt{8}}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{\sqrt{8}}{18}. \]
\(\boxed{\dfrac{\sqrt{8}}{18}}\)
Seja \(a\) o cateto oposto ao ângulo \(\alpha\) e \(b\) o cateto adjacente. A tangente é definida por
\[ \tan \alpha = \frac{a}{b}=\sqrt{8}. \]
Logo, \(a=b\,\sqrt{8}.\)
\(\textbf{2. Uso da hipotenusa}\)
A hipotenusa vale 1, e num triângulo retângulo vale
\[ a^{2}+b^{2}=1^{2}. \]
Substituindo \(a=b\sqrt{8}\):
\[ (b\sqrt{8})^{2}+b^{2}=1 \Rightarrow 8b^{2}+b^{2}=1 \Rightarrow 9b^{2}=1 \Rightarrow b^{2}=\frac{1}{9}. \]
Como \(b>0\), obtém-se \(b=\frac{1}{3}.\)
Então
\[ a = b\sqrt{8}=\frac{\sqrt{8}}{3}. \]
\(\textbf{3. Área do triângulo}\)
\[ A = \frac{a\,b}{2}=\frac{\left(\frac{\sqrt{8}}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{\sqrt{8}}{18}. \]
\(\boxed{\dfrac{\sqrt{8}}{18}}\)
Dicas
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Escreva o cateto oposto em função do adjacente usando a tangente.
Aplique o Teorema de Pitágoras com hipotenusa 1.
Use a fórmula da área com os catetos encontrados.
Erros Comuns
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Usar \(a=\sqrt{8}\) em vez de \(a=b\sqrt{8}\).
Esquecer de dividir por 2 ao calcular a área.
Não extrair a raiz ao resolver \(b^{2}=1/9\).
Revisão
- Funções trigonométricas em triângulos retângulos: \(\tan \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}\).
- Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo, \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\), onde \(c\) é a hipotenusa.
- Área de triângulo retângulo: \(A=\frac{\text{cateto oposto}\times\text{cateto adjacente}}{2}\).
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