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EBMSP Medicina 2017/1
Cada uma das 12 pessoas inscritas para participar de um trabalho voluntário recebeu um crachá com um número de identificação distinto – de 1 a 12 – de acordo com a ordem de inscrição.
Desejando-se organizar grupos formados por três pessoas que não estejam identificadas por três números consecutivos, o número máximo possível de grupos distintos que se pode formar é
a
230
b
225
c
220
d
215
e
210
Ver resposta
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Resposta
E
Tempo médio
2 min
Resolução
Para determinar o número máximo de grupos de três pessoas sem trios consecutivos, começamos contando todos os possíveis grupos de três extraídos das 12 pessoas.
1. Total de trios possíveis
\[\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!\,9!}=220\]
2. Trios proibidos (três números consecutivos)
Entre 1 e 12 os trios consecutivos são:
(1, 2, 3), (2, 3, 4), …, (10, 11, 12).
Há 10 sequências consecutivas, uma para cada número inicial de 1 a 10.
3. Trios permitidos
\[220\;\text{(todos)}\; - \;10\;\text{(proibidos)} = 210\]
Logo, o número máximo de grupos distintos é 210.
Resposta: alternativa E.
1. Total de trios possíveis
\[\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!\,9!}=220\]
2. Trios proibidos (três números consecutivos)
Entre 1 e 12 os trios consecutivos são:
(1, 2, 3), (2, 3, 4), …, (10, 11, 12).
Há 10 sequências consecutivas, uma para cada número inicial de 1 a 10.
3. Trios permitidos
\[220\;\text{(todos)}\; - \;10\;\text{(proibidos)} = 210\]
Logo, o número máximo de grupos distintos é 210.
Resposta: alternativa E.
Dicas
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Calcule primeiro quantos trios quaisquer podem ser formados a partir de 12 pessoas.
Liste (ou visualize) todos os trios que não são permitidos.
Subtraia os trios proibidos do total para obter a quantidade final.
Erros Comuns
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Esquecer de aplicar a restrição e marcar 220.
Contar apenas parte dos trios consecutivos proibidos (5 em vez de 10).
Achar que a ordem dos números importa e usar arranjos (multiplicando por 6).
Revisão
- Combinação simples: usada quando a ordem não importa. A quantidade é dada por \(\binom{n}{k}\).
- Princípio da inclusão/exclusão (ou contagem indireta): conta-se o total e subtraem-se os casos que não interessam.
- Sequência consecutiva: números inteiros que aparecem em ordem sem lacunas.
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