OBMEP 2006
Bruno preencheu com os algarismos 1, 2, 3 e 4 as dez casas que estão sem algarismo na tabela, de modo que em nenhuma linha e em nenhuma coluna aparecessem dois algarismos iguais. Qual a soma dos números que Bruno colocou nas casas marcadas com bolinhas pretas?
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Resolução
Primeiro transcrevamos o tabuleiro (4 linhas × 4 colunas) indicando as casas já preenchidas (números) e as casas com bolinhas pretas:
(1) ● 2 _ 1
(2) 1 _ ● _
(3) 2 _ ● 3
(4) _ 1 _ ●
O objetivo é preencher os dez espaços vazios com os algarismos 1, 2, 3 e 4 de modo que em cada linha e em cada coluna não haja algarismos repetidos. Isso significa que, como há exatamente 4 colunas, cada linha e cada coluna deverão conter os quatro algarismos 1, 2, 3 e 4 exatamente uma vez.
1 – Notação
Nomeemos as casas vazias por letras:
Linha 1: ●=X, 2, A, 1
Linha 2: 1, B, ●=Y, C
Linha 3: 2, D, ●=Z, 3
Linha 4: E, 1, F, ●=W
2 – Informações por linha
- L 1 → {2, 1} + {X, A} ⇒ {X, A} = {3, 4}
- L 2 → {1} + {B, Y, C} ⇒ {B, Y, C} = {2, 3, 4}
- L 3 → {2, 3} + {D, Z} ⇒ {D, Z} = {1, 4}
- L 4 → {1} + {E, F, W} ⇒ {E, F, W} = {2, 3, 4}
3 – Informações por coluna
- C 1 → {X, 1, 2, E} ⇒ {X, E} = {3, 4}
- C 2 → {2, B, D, 1} ⇒ {B, D} = {3, 4}
- C 3 → {A, Y, Z, F} ⇒ {A, Y, Z, F} = {1, 2, 3, 4}
- C 4 → {1, C, 3, W} ⇒ {C, W} = {2, 4}
4 – Deduções passo a passo
a) De L 3 sabemos {D, Z} = {1, 4}. Mas em C 2 temos {B, D} = {3, 4}. O único valor comum é 4 ⇒ D = 4 e, portanto, Z = 1.
b) Agora C 2 já possui 2 e 4 (respectivamente nas linhas 1 e 3) e 1 (linha 4); falta apenas o 3 ⇒ B = 3.
c) Em L 2 restam {Y, C} = {2, 4}.
d) Em C 4, como já há 1 e 3, temos {C, W} = {2, 4}.
e) Observemos C 3. Já contém Z = 1. Assim {A, Y, F} = {2, 3, 4}. Porém L 1 ainda precisa de 3 e 4 para fechar, portanto A ∈ {3, 4}.
f) Suponhamos C = 2 (uma das opções do passo d). Então, em L 2 \\({Y, C} = {4, 2}\\) ⇒ Y = 4. Logo, em C 3 já temos 1 e 4, restando {A, F} = {2, 3}. Mas, como L 1 já contém 2, A não pode ser 2 ⇒ A = 3 e, por conseguinte, F = 2.
g) Agora L 1 fecha com {X = 4, 2, 3, 1}. Assim C 1 fica {4, 1, 2, E} ⇒ E = 3.
h) Finalmente L 4 torna-se {3, 1, 2, W}. Como W ∈ {2, 4} e 2 já está na linha, W = 4.
5 – Quadrado completo
4 2 3 1
1 3 4 2
2 4 1 3
3 1 2 4
Verifica-se facilmente que cada linha e cada coluna contém 1, 2, 3 e 4 exatamente uma vez.
6 – Soma dos algarismos nas casas com bolinha
As bolinhas estão em (1, 1), (2, 3), (3, 3) e (4, 4). Logo:
4 + 4 + 1 + 4 = 13
Resposta: 13 (alternativa D).
Dicas
Erros Comuns
- Quadrado latino 4×4: arranjo onde cada linha e cada coluna contém exatamente os elementos 1, 2, 3, 4.
- Restrições linha/coluna: se um número já aparece na linha (ou coluna), ele não pode aparecer em outra casa da mesma linha (ou coluna).
- Raciocínio dedutivo: usar os elementos que faltam em cada linha/coluna para forçar escolhas sucessivas até completar o quadro.
