UCS inverno 2015
Aumentando-se a medida "a" da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular em 30% e diminuindo-se sua altura "h" em 30% , qual será a variação aproximada no volume da pirâmide?
Aumentará 18%.
Aumentará 30%.
Diminuirá 18%.
Diminuirá 30%.
Não haverá variação.
Resolução
O volume de uma pirâmide qualquer é dado por
\[ V = \frac{1}{3}\,A_{\text{base}}\,h \]
Para uma pirâmide quadrangular regular, a área da base é o quadrado da aresta:
\(A_{\text{base}} = a^{2}\).
1. Variação da área da base
O enunciado diz que a aresta da base aumenta 30%:
\(a \longrightarrow a' = 1{,}30\,a\)
Logo, a nova área da base será
\[A'_{\text{base}} = (1{,}30\,a)^2 = 1{,}30^2\,a^2 = 1{,}69\,a^2\]
Portanto, a área da base aumenta 69 % (fator 1,69).
2. Variação da altura
A altura sofre redução de 30 %:
\(h \longrightarrow h' = 0{,}70\,h\)
3. Novo volume
O novo volume será
\[ V' = \frac{1}{3}\,A'_{\text{base}}\,h' = \frac{1}{3}\,(1{,}69\,a^2)\,(0{,}70\,h) \]
Separamos o fator de variação:
\[ V' = (1{,}69 \times 0{,}70) \; \Bigl(\tfrac{1}{3}a^2h\Bigr) = 1{,}183\,V \]
Assim, \(V'\) é 1,183 V, ou seja, há aumento aproximado de
18 %
Resposta: alternativa A.
Dicas
Erros Comuns
- Volume da pirâmide: \(V = \frac{1}{3}A_{\text{base}}h\).
- Área da base quadrada: \(A = a^{2}\).
- Fator de aumento/redução: aumentar em p % multiplica por \(1+p/100\); reduzir em p % multiplica por \(1-p/100\).
- Variação composta: efeito total = produto dos fatores individuais.
