UNISC Medicina 2013/2
Assinale a única sentença verdadeira sobre o conjunto solução da equação 
Possui dois elementos cujo módulo da diferença é 2.
Possui dois elementos cuja soma é –2.
Possui dois elementos cuja soma é 3/4.
Possui um elemento porque a raiz é dupla.
É um conjunto vazio.
Resolução
Seja
\[\frac{100^{\log(x)}+3}{10^{\log(x)}} = 6\]
Consideremos \(\log\) como logaritmo decimal. Para simplificar, fazemos
\[y = \log(x)\;\;\Rightarrow\;\;10^{y}=x\]
Como \(100 = 10^{2}\), então
\[100^{\log x}=\left(10^{2}\right)^{y}=10^{2y}=10^{\log(x^{2})}=x^{2}.\]
Logo o numerador fica \(x^{2}+3\) e o denominador é simplesmente \(x\). A equação torna-se
\[\frac{x^{2}+3}{x}=6 \;\Longrightarrow\; x^{2}+3=6x\]
\[x^{2}-6x+3=0.\]
Resolvendo a equação quadrática:
\[\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4(1)(3)=36-12=24.\]
As raízes são
\[x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{24}}{2}=3\pm\sqrt6.\]
Como \(\sqrt6\approx2,45\), ambas as soluções são positivas (o domínio do log), logo o conjunto solução contém dois elementos:
\[S=\left\{3-\sqrt6,\;3+\sqrt6\right\}.\]
A diferença entre eles é
\[|x_2-x_1|=|(3+\sqrt6)-(3-\sqrt6)|=2\sqrt6.\]
Assim, a única afirmação verdadeira é a alternativa (A): “possui dois elementos cujo módulo da diferença é 2√6”. (No enunciado impresso o símbolo da raiz pode ter sido suprimido, restando apenas o algarismo 2.)
Dicas
Erros Comuns
- Mudança de base na potência com logaritmo: \(a^{\log_b x}=x^{\log_b a}\).
- Logaritmo decimal: se nada é dito, assume-se base 10.
- Conversão 10log: \(10^{\log x}=x\).
- Equação quadrática: \(ax^{2}+bx+c=0\) tem raízes \(\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).
- Domínio do logaritmo: \(x>0\).
