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Prefeitura de Americana 2023
As senhas alfanuméricas de um cofre de segurança eram constituídas por três algarismos seguidos de quatro letras. O número de senhas que poderiam ser constituídas com algarismos ímpares distintos e as letras T, E, A, M seria:
a
15360
b
16530
c
15630
d
16350
e
15036
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Resposta
A
Resolução
Para formar cada senha devemos escolher:
- 3 algarismos (todos ímpares e distintos), colocados nas três primeiras posições.
- 4 letras nas quatro posições seguintes, escolhidas entre T, E, A, M (sem qualquer restrição de repetição).
1. Contagem dos algarismos
Há cinco algarismos ímpares possíveis: 1, 3, 5, 7, 9.
Precisamos permutar 3 deles, sem repetição:
\[ P(5,3)=5\times4\times3=60 \]
2. Contagem das letras
Cada uma das 4 posições de letras pode receber qualquer uma das quatro letras T, E, A, M, com repetição permitida:
\[ 4^{4}=256 \]
3. Princípio multiplicativo
Os blocos “algarismos” e “letras” são independentes, então:
\[ 60\times256=15\,360 \]
Portanto, o número de senhas possíveis é 15 360.
Dicas
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Concentre-se primeiro nos três algarismos ímpares: quantas formas sem repetir?
Agora, para cada uma das quatro posições de letras, quantas opções existem?
Multiplique as duas quantidades obtidas.
Erros Comuns
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Tratar as letras como distintas obrigatórias, usando 4! em vez de 4⁴.
Permitir repetição nos algarismos, usando 5³.
Confundir combinação (5C3) com permutação (P(5,3)).
Erro de multiplicação ao combinar os dois blocos.
Revisão
- Permutação sem repetição: P(n, k)=n(n-1)…(n-k+1) conta as formas de ordenar k elementos distintos retirados de n.
- Contagem com repetição: Quando não há restrição, cada posição recebe qualquer dos elementos disponíveis. Se são m opções em p posições: mp.
- Princípio multiplicativo: total = (nº de formas de escolher o primeiro bloco) × (nº de formas do segundo bloco) × …
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