FMJ 2019
As retas r e s, de equações \(y=3x-9\ e\ y=\frac{3x+15}{5},\) respectivamente, estão representadas no plano cartesiano, de origem O, e se intersectam no ponto B, conforme a figura.
Sabendo que os pontos A e C são, respectivamente, as intersecções da reta r com o eixo das abscissas e da reta s com o eixo das ordenadas, a área do quadrilátero OABC, em unidades de área, é
\(20,5.\)
\(18,0.\)
\(16,5.\)
\(14,0.\)
\(22,0.\)
Resolução
Para determinar a área do quadrilátero \(OABC\) (sombreado na figura) é preciso conhecer as coordenadas dos seus quatro vértices.
1. Determinação dos vértices
• Origem: \(O=(0,0)\).
• Ponto A (interseção da reta \(r\) com o eixo x): basta fazer \(y=0\) em \(r:\ y = 3x-9\).
\(0 = 3x-9 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\).
Assim, \(A = (3,0)\).
• Ponto C (interseção da reta \(s\) com o eixo y): basta fazer \(x=0\) em \(s:\ y = \dfrac{3x+15}{5}\).
\(y = \dfrac{3\cdot 0 + 15}{5} = \dfrac{15}{5}=3\).
Logo, \(C = (0,3)\).
• Ponto B (interseção entre as retas \(r\) e \(s\)): igualamos as duas equações.
\[3x-9 = \dfrac{3x+15}{5}\]
Multiplicando por 5: \(5(3x-9)=3x+15 \Rightarrow 15x-45 = 3x+15\).
\(12x = 60 \Rightarrow x = 5\).
Substituindo em \(y = 3x-9\): \(y = 3\cdot5-9 = 6\).
Portanto, \(B = (5,6)\).
2. Aplicando a fórmula de Gauss (ou do "retângulo quebrado")
Ordenando os vértices no sentido anti-horário: \(O(0,0),\ A(3,0),\ B(5,6),\ C(0,3)\).
Pela regra do shoelace:
\[\text{Área}=\frac{1}{2}\left|\sum x_i y_{i+1} - \sum y_i x_{i+1}\right|\]
Montando a tabela:
| \(x_i\) | \(y_i\) | \(x_i y_{i+1}\) | \(y_i x_{i+1}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 18 | 0 |
| 5 | 6 | 15 | 0 |
| 0 | 3 | 0 | 0 |
\(\sum x_i y_{i+1} = 0+18+15+0 = 33\).
\(\sum y_i x_{i+1} = 0\).
Logo:
\[\text{Área}=\dfrac{1}{2}\times 33 = 16{,}5\,\text{u.a.}\]
3. Alternativa correta
A área é 16,5, correspondente à letra C.
Dicas
Erros Comuns
- Interceptos: o ponto onde a reta corta o eixo x obtém-se impondo \(y=0\); para o eixo y, impõe-se \(x=0\).
- Interseção de retas: resolver o sistema formado pelas duas equações.
- Fórmula de Gauss (shoelace): fornece a área de um polígono a partir das coordenadas ordenadas dos vértices.
