EAM 2020
As raízes do polinômio p(x) = x3 - 10x2 + 29x - 20 são as dimensões de um paralelepípedo retângulo.
É correto afirmar que a área de todas as faces da figura em unidades de área é igual a:
28
29
36
48
58
Resolução
Sejam \(a,\,b,\,c\) as raízes de
\[p(x)=x^{3}-10x^{2}+29x-20.\]
Esses valores correspondem às arestas de um paralelepípedo retângulo.
1. Encontrando as raízes
Testando valores inteiros que dividem o termo independente (\(-20\)), temos:
- \(p(1)=1-10+29-20=0\) ⇒ \(x=1\) é raiz.
Fazendo a divisão sintética por \((x-1)\):
\[\begin{aligned}x^{3}-10x^{2}+29x-20 &= (x-1)(x^{2}-9x+20)\\ &=(x-1)(x-4)(x-5).\end{aligned}\]
Logo:
\[a=1,\;b=4,\;c=5.\]
2. Área total do paralelepípedo
A soma das áreas das seis faces é dada por
\[A_{\text{total}}=2(ab+bc+ac).\]
Substituindo \(a=1,\,b=4,\,c=5\):
\[\begin{aligned}A_{\text{total}} &=2\bigl(1\cdot4+4\cdot5+1\cdot5\bigr)\\ &=2\bigl(4+20+5\bigr)\\ &=2\times29\\ &=58.\end{aligned}\]
Portanto, a área de todas as faces é 58 unidades de área.
Alternativa correta: E.
Dicas
Erros Comuns
- Teorema das raízes racionais: Para polinômios de coeficientes inteiros, possíveis raízes racionais são fatores do termo independente divididos por fatores do coeficiente líder.
- Fórmulas de Vièta: Para \(x^{3}+px^{2}+qx+r=0\), soma das raízes \(= -p\); soma dos produtos dois a dois \(= q\); produto das raízes \(= -r\).
- Paralelepípedo retângulo: Com arestas \(a, b, c\), área total \(=2(ab+bc+ac)\) e volume \(=abc\).
