UNIFIMES 2021
As novas placas dos veículos terão agora 4 letras e 3 números. No Brasil, o padrão inicial para automóveis será LLLNLNN, ou seja, três letras, um número, uma letra e dois números, nessa ordem. Exemplos de placas nesse padrão são AAA1A11 e ABC9D87.
Nesse padrão, o número de placas distintas que poderão ser feitas, utilizando-se somente as vogais e os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que a vogal situada entre os algarismos seja igual à primeira vogal da placa, e que não ocorra repetição de algarismos em uma mesma placa, é
7500.
5200.
6000.
8100.
3600.
Resolução
O padrão a ser utilizado é LLLNLNN, onde:
- L = letra (somente vogais A, E, I, O, U)
- N = algarismo (somente 1, 2, 3, 4, 5)
1. Escolha das letras
Posições 1, 2, 3 e 5 são letras.
• O enunciado impõe que a vogal da posição 5 deve ser igual à primeira vogal da placa (posição 1).
• Todos os quatro lugares podem conter qualquer vogal, mas já sabemos que a 5ª posição é cópia da 1ª.
Passos:
- Escolher a vogal das posições 1 e 5: 5 possibilidades (A, E, I, O ou U).
- Escolher a vogal da posição 2: 5 possibilidades (pode repetir).
- Escolher a vogal da posição 3: 5 possibilidades (pode repetir).
Número de maneiras para as letras:
\[5 \times 5 \times 5 = 125\]
2. Escolha dos algarismos
Posições 4, 6 e 7 são algarismos (1 a 5) sem repetição.
Trata-se de um arranjo sem repetição de 3 elementos dentre 5:
\[A_{5,3} = 5 \times 4 \times 3 = 60\]
3. Total de placas distintas
Multiplicando as escolhas independentes:
\[125 \times 60 = 7\,500\]
Logo, o total de placas possíveis é 7 500.
Resposta: alternativa A.
Dicas
Erros Comuns
- Arranjos sem repetição (permutação parcial): número de maneiras de dispor \(p\) elementos distintos escolhidos de um conjunto de \(n\) elementos é \(A_{n,p}=n\times(n-1)\times\dots\times(n-p+1)\).
- Princípio fundamental da contagem: se uma escolha se faz em \(m\) maneiras e, independentemente, outra em \(n\) maneiras, o total é \(m\times n\).
- Restrições de repetição/igualdade: impor que dois elementos sejam iguais reduz o número de decisões independentes (um deles passa a ser cópia do outro).
