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EsPCEx 2011
As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular são as raízes da equação polinomial x3 - 14x2 + 64x - 96 = 0. Denominando-se r, s e t essas medidas, se for construído um novo bloco retangular, com arestas medindo (r-1), (s-1) e (t-1), ou seja, cada aresta medindo 1 cm a menos que a do bloco anterior, a medida do volume desse novo bloco será
a
36 cm3
b
45 cm3
c
54 cm3
d
60 cm3
e
80 cm3
Ver resposta
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Resposta
B
Resolução
\[
(r-1)(s-1)(t-1)=rst-(rs+rt+st)+(r+s+t)-1
\]
Pelas relações de Viète para o polinômio \(x^{3}-14x^{2}+64x-96=0\):
• \(r+s+t =14\)
• \(rs+rt+st =64\)
• \(rst =96\)
Substituindo:
\[96-64+14-1=45\] Logo, o volume do novo bloco é \(45\,\text{cm}^{3}\).
Alternativa B.
• \(r+s+t =14\)
• \(rs+rt+st =64\)
• \(rst =96\)
Substituindo:
\[96-64+14-1=45\] Logo, o volume do novo bloco é \(45\,\text{cm}^{3}\).
Alternativa B.
Dicas
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Expanda (r−1)(s−1)(t−1) antes de substituir valores.
Use as somas e produtos de raízes obtidos diretamente dos coeficientes do polinômio.
Lembre-se de subtrair 1 ao final da expressão expandida.
Erros Comuns
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Não lembrar das relações de Viète e tentar achar as raízes individualmente.
Esquecer um termo na expansão de (r−1)(s−1)(t−1).
Confundir o sinal dos coeficientes na aplicação de Viète.
Revisão
- Relações de Viète: em um polinômio monicamente normalizado \(x^{3}+px^{2}+qx+r=0\), vale \(\sum\text{raízes}=-p\), \(\sum\text{produtos 2 a 2}=q\) e \(\text{produto das 3 raízes}=-r\).
- Prisma retangular: volume \(V=abc\), onde \(a,b,c\) são as arestas.
- Fatoração: \((r-1)(s-1)(t-1)=rst-(rs+rt+st)+(r+s+t)-1\).
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