UEA 2010
Resolução
Seja:
- \(A\): peça fabricada pela máquina A
- \(B\): peça fabricada pela máquina B
- \(C\): peça fabricada pela máquina C
- \(D\): peça apresenta defeito
Dados do enunciado:
- \(P(A)=0{,}20\)
- \(P(B)=0{,}50\)
- \(P(C)=0{,}30\)
- \(P(D\mid A)=0{,}06\)
- \(P(D\mid B)=0{,}03\)
- \(P(D\mid C)=0{,}035\)
Queremos \(P(A\mid D)\). Pelo teorema de Bayes:
\[ P(A\mid D)=\frac{P(D\mid A)\,P(A)}{P(D\mid A)\,P(A)+P(D\mid B)\,P(B)+P(D\mid C)\,P(C)} \]
Calculando cada produto:
- \(P(D\mid A)\,P(A)=0{,}06\times0{,}20=0{,}012\)
- \(P(D\mid B)\,P(B)=0{,}03\times0{,}50=0{,}015\)
- \(P(D\mid C)\,P(C)=0{,}035\times0{,}30=0{,}0105\)
Somando:
\(0{,}012+0{,}015+0{,}0105=0{,}0375\)
Aplicando em Bayes:
\[ P(A\mid D)=\frac{0{,}012}{0{,}0375}=0{,}32=32\% \]
Resposta: 32 %. (Alternativa B)
Dicas
Erros Comuns
Teorema de Bayes
Permite inverter probabilidades condicionais. Para eventos \(E_i\) mutuamente exclusivos que cobrem todo o espaço e um evento \(D\):
\[P(E_k\mid D)=\frac{P(D\mid E_k)P(E_k)}{\sum_i P(D\mid E_i)P(E_i)}\]
É útil quando se conhece a probabilidade de defeito em cada máquina (condicional) e a distribuição de produção (priori), mas deseja-se a probabilidade de uma peça defeituosa vir de certa máquina (posteriori).
