FATEC 2010/2
As funções reais f(x) = sen x e g(x) = cos x têm seus gráficos representados no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
Se a função h(x) = f(x) + g(x) tem período p e valor máximo h, então o produto p·h é igual a
4π.
π.
2π.
π
π
Resolução
Queremos determinar o período p e o valor máximo h da função
\[h(x)=\sin x+\cos x.\]
1. Colocando em forma seno
Usamos a identidade clássica
\[\sin x+\cos x = \sqrt2\,\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr).\]
Isso pode ser visto observando que
\[\sin x+\cos x = \sqrt2\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}\sin x+\tfrac{1}{\sqrt2}\cos x\Bigr)=\sqrt2\bigl(\sin x\,\cos\tfrac{\pi}{4}+\cos x\,\sin\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sqrt2\,\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr).\]
2. Período p
A expressão obtida é um seno cuja única alteração é um deslocamento horizontal (fase). O deslocamento não altera o período. Portanto
\[p = 2\pi.\]
3. Valor máximo h
Para \(\sqrt2\,\sin(\text{algo})\), o valor da senoide varia entre \(-\sqrt2\) e \(+\sqrt2\). Logo,
\[h=\sqrt2.\]
4. Produto \(p\cdot h\)
\[p\,h = (2\pi)\,(\sqrt2) = 2\sqrt2\,\pi.\]
Resposta: alternativa B.
Dicas
Erros Comuns
- Função seno e cosseno: ambos têm período \(2\pi\) e amplitude 1.
- Combinação linear \(\sin x + \cos x\): pode ser reescrita na forma \(A\sin(x+\varphi)\), onde \(A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).
- Amplitude: valor máximo (módulo) de uma função periódica da forma \(A\sin\).
- Período: menor \(T>0\) tal que \(f(x+T)=f(x)\).
