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FGV-SP Economia Manhã 2018
As funções logarítmicas f, g, h, p são dadas por f(x) = 10 + log x, g(x) = 10log x, h(x) = log(10x) e p(x) = log(x + 10). Observe os gráficos a seguir:
Os gráficos I, II, III e IV correspondem, respectivamente, às funções
a
h, f, g, p.
b
g, h, f, p.
c
g, f, h, p.
d
g, f, p, h.
e
p, f, h, g.
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Resposta
C
Resolução
Passo 1 ‑ reconheça as transformações
- g(x)=10\(\log x\) → multiplicação por 10 no eixo y.
Passa por \((1,0)\), chega a \((10,10)\) e despenca para \(-\infty\) quando \(x\to0^+\). Curva fica muito mais íngreme. - f(x)=\log x+10 → translação vertical +10.
Gráfico é o mesmo de \(\log x\), mas começando em \((1,10)\). É praticamente horizontal (mesmo formato, porém 10 unidades acima). - h(x)=\log(10x)=\log x+1 → translação vertical +1.
Passa por \((1,1)\) e \((10,2)\). - p(x)=\log(x+10) → translação horizontal ‑10.
Domínio \(x>-10\); corta o eixo x em \((-9,0)\); tende a \(-\infty\) quando \(x\to-10^+\).
Passo 2 ‑ compare com os gráficos
Observando a figura:
- Gráfico I: curva rosa muito inclinada, passa por \((10,10)\). É g.
- Gráfico II: curva azul, quase horizontal, toda acima de 9 em y. É o gráfico de \(\log x+10\), isto é, f.
- Gráfico III: curva verde, semelhante ao log padrão, mas 1 unidade acima do eixo. É h.
- Gráfico IV: curva marrom deslocada 10 unidades para a esquerda, cortando o eixo em \((-9,0)\). É p.
Passo 3 ‑ ordene
Logo, (I, II, III, IV) = (g, f, h, p).
Alternativa correta: C.
Dicas
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Observe qual curva corta o eixo x em x=-9; só pode ser log(x+10).
Compare os valores em x=1: quem está em y=10? em y=1?
Qual curva passa por (10,10)? Só aquela multiplicada por 10.
Erros Comuns
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Ignorar o alongamento vertical de g(x) e confundi-lo com uma simples translação.
Não perceber que p(x)=log(x+10) desloca o gráfico para a ESQUERDA, fazendo-o cortar o eixo x em x=-9.
Confundir elevação de 1 unidade (h) com elevação de 10 unidades (f).
Revisão
Conceitos-chave
- Função logarítmica básica: \(y=\log x\) (base 10) tem domínio \(x>0\), passa por \((1,0)\) e tem assimptota vertical no eixo y.
- Translação vertical: \(y=\log x+k\) move o gráfico k unidades para cima (se \(k>0\)).
- Translação horizontal: \(y=\log(x-h)\) desloca o gráfico h unidades para a direita (se \(h>0\)) ou para a esquerda (se \(h<0\)).
- Alongamento vertical: \(y=a\log x\) (\(a>1\)) estica o gráfico no eixo y, aumentando sua inclinação.
- Domínio e assíntotas: para \(\log(x+c)\), o domínio é \(x>-c\) e há assíntota vertical em \(x=-c\).
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