Polícia Civil do Amazonas 2022
As figuras mostram a mesma corda vibrando em dois de seus modos normais de vibração gerados sob mesmas tensões.
Sabe-se que, ao vibrar de acordo com a configuração 1, a frequência é F1 e que ao vibrar de acordo com a configuração 2, sua frequência é F2. Nessas condições é possível afirmar que
\(F_2=\frac{1}{4}F_1\).
\(F_2=\frac{1}{2}F_1\).
F2 = F1.
F2 = 2F1.
F2 = 4F1.
Resolução
Quando uma corda fixa nas duas extremidades vibra, formam-se ondas estacionárias cujos nós ficam exatamente nos pontos de fixação. Cada configuração possível é chamada de modo normal ou harmônico e é numerada pelo inteiro n.
1. Identificando os harmônicos
• Em cada harmônico aparecem n meias-ondas (ou loops) ao longo do comprimento total L da corda.
- Configuração 1: vemos apenas um arco completo (meia-onda). Logo n = 1 → harmônico fundamental.
- Configuração 2: vemos quatro arcos completos. Logo n = 4 → 4.º harmônico.
2. Relação comprimento × comprimento de onda
Para uma corda fixa nas duas pontas:
\[ \lambda_n = \frac{2L}{n} \]
3. Frequências dos modos
A velocidade da onda na corda, sob uma mesma tensão T e mesma densidade linear µ, é constante (\(v = \sqrt{T/\mu}\)). Assim
\[ f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{v}{2L/n}=\frac{n\,v}{2L} \]
Portanto, a frequência é diretamente proporcional ao número do harmônico:
\[ f_n \propto n \]
4. Comparando F1 e F2
• Configuração 1 (fundamental): \(n_1 = 1 \Rightarrow F_1 = f_1 = \dfrac{v}{2L}\).
• Configuração 2 (4.º harmônico): \(n_2 = 4 \Rightarrow F_2 = f_4 = \dfrac{4v}{2L}=\dfrac{2v}{L}\).
Tomando o quociente:
\[ \frac{F_2}{F_1}=\frac{\dfrac{2v}{L}}{\dfrac{v}{2L}}=4 \quad\Longrightarrow\quad F_2 = 4\,F_1 \]
5. Conclusão
A frequência do segundo desenho (4.º harmônico) é quatro vezes maior que a do primeiro (fundamental).
Alternativa correta: E
Dicas
Erros Comuns
- Ondas estacionárias em cordas presas nas extremidades: sempre há nós nas extremidades.
- Harmônico (n): número inteiro de meias-ondas que cabem no comprimento total.
- Comprimento de onda: \(\lambda_n = 2L/n\).
- Frequência: \(f_n = v/\lambda_n = n v /(2L)\) → proporcional a n.
- Velocidade na corda: \(v=\sqrt{T/\mu}\); constante se T e µ não mudam.
