OBRL 1ª Fase Nível I 2015
As figuras geométricas que trabalhamos inicialmente no estudo de perímetro são as figuras planas. Portanto nas figuras geométricas planas ou linhas poligonais fechadas é possível determinarmos seu perímetro através da soma das medidas de todos os lados. Observe a figura abaixo:
Determine o perímetro da figura abaixo com lado igual 3 cm e a quantidade de palitos que devemos acrescentar para termos 12 triângulos equiláteros.
36 cm de perímetro e 3 palitos.
18 cm de perímetro e 6 palitos.
36 cm de perímetro e 6 palitos.
18 cm de perímetro e 9 palitos.
36 cm de perímetro e 9 palitos.
Resolução
Primeiro, vamos analisar a figura fornecida. Há 6 triângulos equiláteros de lado 3 cm dispostos ao redor de um espaço central com forma de hexágono regular (também de lado 3 cm).
1. Perímetro da figura
O contorno externo é formado apenas pelos lados que ficam para fora. Cada triângulo contribui com 2 lados externos, pois o lado que toca o hexágono fica para dentro.
- Número de lados externos = 6 triângulos × 2 lados = 12 lados.
- Comprimento de cada lado = 3 cm.
Portanto, o perímetro é
\[ P = 12 \times 3\text{ cm} = 36\text{ cm}. \]
2. Acrescentar palitos para obter 12 triângulos
Atualmente há 6 triângulos. Queremos chegar a 12. O espaço central é um hexágono regular de lado 3 cm. Se unirmos o centro do hexágono a cada um dos seus 6 vértices, dividimos o hexágono em 6 triângulos equiláteros de lado 3 cm.
Cada segmento que sai do centro até um vértice tem justamente 3 cm (o raio de um hexágono regular). Logo, basta encaixar 6 palitos – um para cada vértice – e o total de triângulos passará a ser:
\[6\text{ (externos)} + 6\text{ (internos)} = 12\text{ triângulos}.\]
3. Resposta
Perímetro: 36 cm | Palitos a acrescentar: 6.
Alternativa correta: C.
Dicas
Erros Comuns
- Perímetro: soma dos comprimentos dos lados que formam o contorno externo de uma figura plana.
- Triângulo equilátero: possui os três lados congruentes; se o lado mede \(l\), todos os seus lados medem \(l\).
- Hexágono regular: pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros traçando segmentos do centro aos vértices; cada segmento tem o mesmo comprimento do lado.
- Palitos compartilhados: quando triângulos compartilham lados, esses lados não entram no perímetro externo, mas contam apenas uma vez na contagem de palitos.
