FGV-SP Economia Manhã 2012
As duas raízes da equação x2 – 63x+k = 0 na incógnita x são números inteiros e primos.
O total de valores distintos que k pode assumir é
4.
3.
2.
1.
0.
Resolução
Sejam \(p\) e \(q\) as raízes inteiras da equação quadrática \[x^{2}-63x+k=0.\] Como a soma das raízes de uma equação \(ax^{2}+bx+c=0\) é \(-\tfrac{b}{a}\) e o produto é \(\tfrac{c}{a}\), temos:
• Soma: \(p+q = 63\).
• Produto: \(pq = k\).
1. Implicações para a soma 63
Para que \(p+q\) seja ímpar (63 é ímpar), exatamente um dos números deve ser par, pois a soma de dois números:
- ímpares ⇒ resultado par;
- par + ímpar ⇒ resultado ímpar.
O único número primo par é \(2\). Portanto, uma das raízes deve ser \(2\). A outra será:
\(q = 63 - 2 = 61\).
2. Verificação da primalidade
• \(2\) é primo por definição.
• \(61\) é primo (não possui divisores além de \(1\) e \(61\)).
3. Cálculo de \(k\)
Como \(k = pq\):
\(k = 2 \times 61 = 122\).
4. Conclusão
Existe apenas esse par de raízes inteiras e primas que satisfaz a soma igual a \(63\). Logo, há apenas um valor possível para \(k\).
Resposta: 1 valor distinto (alternativa D).
Dicas
Erros Comuns
- Soma e produto das raízes: Para \(ax^{2}+bx+c=0\), \(r_{1}+r_{2}=-\frac{b}{a}\) e \(r_{1}r_{2}=\frac{c}{a}\).
- Primos: Exceto o \(2\), todos os números primos são ímpares.
- A soma de dois números ímpares é par; a soma de um par com um ímpar é ímpar.
