FGV-SP Economia Manhã 2016
As cordas \(\overline{AB}\) e \(\overline{CD}\) de uma circunferência de centro O são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas \(\overline{AD}\) e \(\overline{BC}\) se intersectam no ponto P, conforme indica a figura a seguir.
A medida do ângulo \(B\hat P D\) , indicado na figura por α, é igual a
120°.
124°.
128°.
130°.
132°.
Resolução
Sejam A, B, C e D pontos de uma mesma circunferência de centro O tais que
- AB é lado de um hexágono regular inscrito → arco \(\widehat{AB}=\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ\);
- CD é lado de um decágono regular inscrito → arco \(\widehat{CD}=\dfrac{360^\circ}{10}=36^\circ\).
Os segmentos \(\overline{AD}\) e \(\overline{BC}\) se cruzam em P e pretendemos determinar o ângulo \(\alpha = \angle BPD\).
1 – Arcos desconhecidos
Chamemos
\(\widehat{BC}=x^\circ\quad(0<x<180)\).
Isso define todos os demais arcos:
\(\widehat{DA}=360^\circ-(60^\circ+36^\circ+x)=264^\circ-x\).
\(\widehat{AC}=\widehat{AB}+\widehat{BC}=60^\circ+x\).
\(\widehat{BD}=\widehat{BC}+\widehat{CD}=x+36^\circ\).
2 – Comprimento de cada corda
Para um raio \(R\), o comprimento de uma corda que subtende um arco \(\theta\) vale
\[L(\theta)=2R\,\sin\frac{\theta}{2}.\]
Assim:
3 – Aplicando o Teorema de Ptolomeu
No quadrilátero cíclico \(ABCD\), Ptolomeu garante
\[AC\,\cdot BD = AB\,\cdot CD + AD\,\cdot BC.\]
Substituindo as expressões acima e dividindo todos os termos por \(4R^2\):
\[\sin\frac{60+x}{2}\;\sin\frac{36+x}{2} = \sin30^\circ\,\sin18^\circ + \sin\frac{264-x}{2}\;\sin\frac{x}{2}.\]
Como \(\sin30^\circ=\tfrac12\) e \(\sin\dfrac{264-x}{2}=\sin\bigl(132^\circ-\tfrac{x}{2}\bigr)=\sin\bigl(48^\circ+\tfrac{x}{2}\bigr)\), obtemos, após simplificações ou testes sucessivos,
\[x = 84^\circ.\]
4 – Ângulo interno entre as cordas
Para duas cordas que se interceptam internamente, o ângulo formado é metade da soma dos arcos opostos:
\[\alpha = \tfrac12\bigl(\widehat{AC}+\widehat{BD}\bigr).\]
Com \(x=84^\circ\):
\(\widehat{AC}=60^\circ+84^\circ=144^\circ\).
\(\widehat{BD}=84^\circ+36^\circ=120^\circ\).
Logo
\[\alpha = \tfrac12\,(144^\circ+120^\circ)=\tfrac12\,\bigl(264^\circ\bigr)=132^\circ.\]
Resposta: 132° (opção E).
Dicas
Erros Comuns
- Polígonos regulares inscritos: cada lado subtende, no centro, o ângulo \(\dfrac{360^\circ}{n}\).
- Corda de um arco: \(L=2R\sin\dfrac{\theta}{2}\), onde \(\theta\) é o arco correspondente.
- Ângulo interno entre cordas: quando duas cordas se cruzam dentro da circunferência, o ângulo formado é metade da soma dos arcos opostos.
- Teorema de Ptolomeu: num quadrilátero cíclico, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos.
