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FGV-SP Economia Manhã 2012
As cordas AB e CD de um círculo são perpendiculares no ponto P, sendo que AP = 6, PB = 4 e CP = 2.
O raio desse círculo mede
a
\(5.\)
b
\(6.\)
c
\(3\sqrt{3.}\)
d
\(4\sqrt{2.}\)
e
\(5\sqrt{2.}\)
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Resposta
E
Resolução
Sejam duas cordas que se interceptam no ponto \(P\) formando ângulo reto:
- \(\overline{AB}\) é vertical e passa por \(P\).
- \(\overline{CD}\) é horizontal e passa por \(P\).
- Medidas conhecidas: \(AP=6\), \(PB=4\) (logo \(AB = 10\)); \(CP = 2\).
1. Comprimento de \(PD\) (Teorema do Produto das Cordas)
Quando duas cordas se cortam num ponto interior do círculo, vale
\[ AP\cdot PB = CP\cdot PD. \]Substituindo:
\[ 6\cdot 4 = 2\cdot PD \Longrightarrow 24 = 2\,PD \Longrightarrow PD = 12. \]Portanto \(CD = CP + PD = 2 + 12 = 14\).
2. Determinando o centro por coordenadas
Convenientemente, tomamos \(P\) como origem \((0,0)\).
- Como \(AB\) é vertical, seus extremos são \(A(0,6)\) e \(B(0,-4)\).
- Como \(CD\) é horizontal, seus extremos são \(C(-2,0)\) e \(D(12,0)\).
O centro do círculo está:
- Na reta perpendicular ao segmento \(AB\) que passa pelo seu ponto médio.
Médio de \(AB\): \(M_{AB} \bigl(0,\tfrac{6+(-4)}{2}\bigr) = (0,1)\).
\(AB\) é vertical, logo essa reta é horizontal de equação \(y = 1\). - Na reta perpendicular ao segmento \(CD\) que passa pelo seu ponto médio.
Médio de \(CD\): \(M_{CD}\bigl(\tfrac{-2+12}{2},0\bigr) = (5,0)\).
\(CD\) é horizontal, logo essa reta é vertical de equação \(x = 5\).
Assim, o centro é a interseção dessas retas: \(O(5,1)\).
3. Raio do círculo
Basta calcular a distância de \(O\) a qualquer ponto da circunferência, por exemplo \(A(0,6)\):
\[ r = OA = \sqrt{(5-0)^2 + (1-6)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. \]Resposta
O raio da circunferência é \(\boxed{5\sqrt{2}}\).
Dicas
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Use a propriedade do produto dos segmentos das cordas para achar PD.
Encontre o ponto médio de cada corda e lembre que o centro está na mediatriz.
Calcule a distância do centro a um dos pontos A, B, C ou D para obter o raio.
Erros Comuns
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Esquecer a propriedade \(AP\cdot PB = CP\cdot PD\) e assumir que PD = 6.
Confundir os 10 cm da corda \(AB\) com o diâmetro.
Achar que o ângulo reto no ponto P implica triângulo retângulo inscrito, usando o teorema de Tales sem base.
Somar 6+4+2 e tomar 12 como raio.
Revisão
Conceitos-chave
- Produto dos Segimentos de Cordas: se duas cordas \((A,B)\) e \((C,D)\) se encontram num ponto interno \(P\), então \(AP\cdot PB = CP\cdot PD\).
- Geometria Analítica em círculos: colocar o ponto de interseção na origem simplifica os cálculos de coordenadas e distâncias.
- Mediatriz de um segmento: o centro da circunferência pertence à reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.
- Distância entre pontos no plano: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
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