OBMEP 2015
As contas AB ×C = 195 e CDE ÷ F = 88 estão corretas, sendo A, B, C, D, E e F algarismos diferentes. O número AB é formado pelos algarismos A e B, e o número CDE é formado pelos algarismos C, D e E. Qual é o algarismo representado pela letra F?
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Resolução
Precisamos satisfazer simultaneamente:
- AB × C = 195 (A, B, C dígitos, AB número de dois algarismos);
- CDE ÷ F = 88 (CDE número de três algarismos);
- A, B, C, D, E, F todos diferentes.
1. Fatorando 195
\[195 = 3 \times 5 \times 13\]
Como C é um único dígito (1 – 9), as únicas possibilidades são
\[C = 3\quad\text{ou}\quad C = 5\]
(C = 13 é impossível).
2. Caso 1: C = 3
Então \(AB = 195/3 = 65\;\Rightarrow\;A = 6,\;B = 5\).
Agora precisamos que
\[3DE = 88F\]
O resultado 88F deve estar entre 300 e 399.
| F | 88F |
|---|---|
| 1 | 088 |
| 2 | 176 |
| 3 | 264 |
| 4 | 352 |
Somente 352 está na faixa 300-399, logo \(F = 4\) ⇒ CDE = 352.
Mas o dígito 5 já aparece em B, voltando a repetir-se em D, violando a exigência de todos diferentes. Descarta-se C = 3.
3. Caso 2: C = 5
Então \(AB = 195/5 = 39\;\Rightarrow\;A = 3,\;B = 9\).
Precisamos agora que
\[5DE = 88F\]
Logo 88F deve situar-se entre 500 e 599.
| F | 88F |
|---|---|
| 5 | 440 |
| 6 | 528 |
| 7 | 616 |
A única opção na faixa é 528, portanto
\[F = 6,\quad CDE = 528,\quad D = 2,\;E = 8\]
Conjunto de dígitos obtido: 3, 9, 5, 2, 8, 6 → todos diferentes. Condição satisfeita.
4. Conclusão
O algarismo representado por F é 6.
Dicas
Erros Comuns
- Fatoração: decompor um número em seus fatores primos para analisar divisibilidade;
- Número de dois/três algarismos: reconhecer o intervalo numérico correspondente (AB entre 10 e 99; CDE entre 100 e 999);
- Propriedade da divisão exata: se CDE ÷ F = 88, então CDE = 88 × F;
- Dígitos distintos: nenhum algarismo pode repetir-se entre A, B, C, D, E, F.
