FGV-SP Economia Manhã 2017
As cidades A, B, C e D estão ligadas por uma rodovia, como mostra a figura seguinte, feita fora de escala.
Por essa rodovia, a distância entre A e C é o triplo da distância entre C e D, a distância entre B e D é a metade da distância entre A e B, e a distância entre B e C é igual a 5 km.
Por essa estrada, se a distância entre C e D corresponde a x% da distância entre A e B, então x é igual a
36.
36,5.
37.
37,5.
38.
Resolução
Seja CD a distância entre as cidades C e D. Indiquemos
- CD = y (km)
- BC = 5 km (dado)
- AB = ? (km)
Do enunciado, temos duas relações de proporcionalidade:
A distância AC é o triplo de CD: \[AC = 3y\]
A distância BD é a metade de AB: \[BD = \tfrac12 AB\]
Como o traçado da rodovia é A → B → C → D, podemos escrever as demais distâncias somando trechos consecutivos:
- \(AC = AB + BC = AB + 5\)
- \(BD = BC + CD = 5 + y\)
Substituindo essas expressões nas relações dadas:
1) \(AB + 5 = 3y \quad\Rightarrow\quad AB = 3y - 5\)
2) \(5 + y = \tfrac12 AB\)
Agora substituímos \(AB = 3y - 5\) em (2):
\[5 + y = \tfrac12(3y - 5)\]
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
\[10 + 2y = 3y - 5\]
Isolando \(y\):
\[10 + 5 = 3y - 2y \quad\Rightarrow\quad 15 = y\]
Logo:
\[CD = y = 15\;\text{km}\]
Calculando agora \(AB\):
\[AB = 3y - 5 = 3\cdot15 - 5 = 45 - 5 = 40\;\text{km}\]
Pede-se a porcentagem que CD representa de AB:
\[x = \frac{CD}{AB} \times 100 = \frac{15}{40}\times100 = 0{,}375\times100 = 37{,}5\%\]
Portanto,
x = 37,5
Alternativa correta: D.
Dicas
Erros Comuns
- Soma de trechos consecutivos: quando pontos estão dispostos em sequência ao longo de uma via, a distância total entre dois pontos extremos é a soma dos trechos intermediários.
- Proporção e razão: expressões como "o triplo" ou "a metade" traduzem multiplicações por 3 e por \(\tfrac12\), respectivamente.
- Porcentagem: para saber que porcentagem uma grandeza A representa de B, calcula-se \(\dfrac{A}{B}\times100\).
