ENEM 2013
Aquecedores solares usados em residências têm o objetivo de elevar a temperatura da água até 70 °C. No entanto, a temperatura ideal da água para um banho é de 30 °C. Por isso, deve-se misturar a água aquecida com a água à temperatura ambiente de um outro reservatório, que se encontra a 25 °C.
Qual a razão entre a massa de água quente e a massa de água fria na mistura para um banho à temperatura ideal?
0,111
0,125
0,357
0,428
0,833
Resolução
Passo a passo da solução:
O problema envolve a mistura de água a duas temperaturas diferentes para atingir uma temperatura final desejada. O princípio fundamental a ser aplicado é o da conservação de energia em trocas de calor, especificamente a calorimetria de misturas. Assume-se que o sistema é isolado, ou seja, não há troca de calor com o ambiente.
1. Identificar as variáveis:
- Massa de água quente: \(m_q\)
- Temperatura inicial da água quente: \(T_q = 70\, ^\circ C\)
- Massa de água fria: \(m_f\)
- Temperatura inicial da água fria: \(T_f = 25\, ^\circ C\)
- Temperatura final da mistura: \(T_{final} = 30\, ^\circ C\)
- Calor específico da água: \(c\) (assume-se constante e igual para ambas as massas de água)
2. Aplicar o princípio das trocas de calor:
A quantidade de calor perdida pela água quente (\(Q_q\)) somada à quantidade de calor ganha pela água fria (\(Q_f\)) deve ser igual a zero (sistema isolado).
\[ Q_q + Q_f = 0 \]3. Calcular as quantidades de calor:
A fórmula para a quantidade de calor sensível é \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\), onde \(\Delta T = T_{final} - T_{inicial}\).
- Calor trocado pela água quente: \(Q_q = m_q \cdot c \cdot (T_{final} - T_q)\)
- Calor trocado pela água fria: \(Q_f = m_f \cdot c \cdot (T_{final} - T_f)\)
4. Substituir na equação de balanço térmico:
\[ m_q \cdot c \cdot (T_{final} - T_q) + m_f \cdot c \cdot (T_{final} - T_f) = 0 \]Como o calor específico \(c\) é o mesmo para ambas as porções de água e diferente de zero, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por \(c\):
\[ m_q \cdot (T_{final} - T_q) + m_f \cdot (T_{final} - T_f) = 0 \]5. Substituir os valores numéricos das temperaturas:
\[ m_q \cdot (30 - 70) + m_f \cdot (30 - 25) = 0 \] \[ m_q \cdot (-40) + m_f \cdot (5) = 0 \] \[ -40 \cdot m_q + 5 \cdot m_f = 0 \]6. Resolver para a razão \(m_q / m_f\):
Rearranjando a equação:
\[ 5 \cdot m_f = 40 \cdot m_q \]Agora, isolamos a razão pedida (massa de água quente / massa de água fria):
\[ \frac{m_q}{m_f} = \frac{5}{40} \]7. Simplificar a fração e calcular o valor decimal:
\[ \frac{m_q}{m_f} = \frac{1}{8} \] \[ \frac{m_q}{m_f} = 0,125 \]Portanto, a razão entre a massa de água quente e a massa de água fria na mistura é 0,125.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
Para resolver esta questão, é fundamental entender os seguintes conceitos de Calorimetria:
- Calor Sensível: É a quantidade de energia térmica (calor) que um corpo recebe ou cede ao variar sua temperatura, sem mudar seu estado físico. A fórmula é \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\), onde \(m\) é a massa, \(c\) é o calor específico da substância e \(\Delta T\) é a variação de temperatura (\(T_{final} - T_{inicial}\)).
- Calor Específico (c): É uma propriedade da substância que indica a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de uma unidade de massa dessa substância em um grau Celsius (ou Kelvin). Para a água líquida, \(c \approx 1 \, cal/g^{\circ}C\) ou \(4186 \, J/kg^{\circ}C\).
- Princípio das Trocas de Calor: Em um sistema termicamente isolado (sem trocas de calor com o ambiente), a soma algébrica das quantidades de calor trocadas entre os corpos que compõem o sistema é nula. Isso significa que a quantidade total de calor cedida pelos corpos mais quentes é igual à quantidade total de calor recebida pelos corpos mais frios. Matematicamente: \(\sum Q_{recebido} + \sum Q_{cedido} = 0\). Note que \(Q_{cedido}\) terá valor negativo, pois \(\Delta T < 0\) para o corpo que esfria.
- Equilíbrio Térmico: Quando corpos a diferentes temperaturas são colocados em contato térmico dentro de um sistema isolado, eles trocam calor até que todos atinjam a mesma temperatura final, chamada temperatura de equilíbrio.
Utilizar leis físicas e (ou) químicas para interpretar processos naturais ou tecnológicos inseridos no contexto da termodinâmica e(ou) do eletromagnetismo.
