UnB 2010/1
Antes do primeiro voo de Santos Dumont, realizado em um avião no início do século XX, relatos referem que o padre jesuíta brasileiro Bartolomeu de Gusmão, também conhecido como padre voador, realizou, em um balão, um voo de 1 km. Para voar em um balão, é necessário preenchê-lo com um gás que apresente densidade menor que a do ar atmosférico, tal como o hélio ou o próprio ar aquecido. Nesse caso, o balão deve possuir queimadores equipados com cilindros de combustível, usualmente propano (C3H8). Quando o peso do balão for menor que o empuxo provocado pelo ar deslocado, o balão sobe. Como a pressão atmosférica diminui com o aumento da altitude, o empuxo sobre o balão torna-se menor, em uma altura na qual o balão atinge um equilíbrio e pode deslocar-se horizontalmente. Para temperatura constante, a pressão atmosférica p em função da altura h, a partir da superfície terrestre, é descrita pela equação \(p=p\left(h\right)=p_0\) e \(^{-\left(\frac{Mgh}{RT}\right)}\), em que p0 é a pressão atmosférica na superfície da terra, M, a massa molar média do ar (0,0289 kg/mol), g, a aceleração da gravidade (10 m/s2), R, a constante universal dos gases (8,3 J• mol-1 • K-1 ou 8,3 kPa • L • mol-1 · K-1) e T, a temperatura absoluta.
Com base nessas informações e considerando ideais todos os gases envolvidos no funcionamento de um balão, julgue o item.
A quantidade de maneiras distintas de se pintar 5 listras horizontais em um balão usando-se 4 cores diferentes e de modo que listras adjacentes não tenham a mesma cor é um número múltiplo de 27.
CERTO
ERRADO
Resolução
Para calcular a quantidade de maneiras de pintar as 5 listras, usamos o Princípio Multiplicativo.
- 1ª listra: qualquer uma das 4 cores → 4 possibilidades.
- 2ª a 5ª listras: cada uma não pode repetir a cor da listra imediatamente acima, restando 3 cores para cada posição.
O número total de colorações é, então,
\(N = 4 \times 3^{4} = 4 \times 81 = 324.\)
Como \(324 = 27 \times 12\), o total é múltiplo de 27.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Dicas
Erros Comuns
Princípio multiplicativo: se um procedimento ocorre em etapas independentes, o total de resultados é o produto das quantidades de cada etapa.
Restrições adjacentes: quando a escolha de uma etapa limita as opções da etapa seguinte, ajusta-se o número de possibilidades (ex.: cores adjacentes não podem ser iguais).
