UNICAMP 2016
Anemômetros são instrumentos usados para medir a velocidade do vento. A sua construção mais conhecida é a proposta por Robinson em 1846, que consiste em um rotor com quatro conchas hemisféricas presas por hastes, conforme figura abaixo. Em um anemômetro de Robinson ideal, a velocidade do vento é dada pela velocidade linear das conchas. Um anemômetro em que a distância entre as conchas e o centro de rotação é r=25 cm, em um dia cuja velocidade do vento é v=18 km/h, teria uma frequência de rotação de
Se necessário, considere π ≈3.
3 rpm.
200 rpm.
720 rpm.
1200 rpm.
Resolução
Para resolver esta questão, precisamos relacionar a velocidade do vento com a frequência de rotação das conchas do anemômetro. O problema afirma que, em um anemômetro ideal, a velocidade do vento (v) é igual à velocidade linear das conchas.
Os dados fornecidos são:
- Raio de rotação das conchas (distância do centro às conchas): \(r = 25 \text{ cm}\)
- Velocidade do vento: \(v = 18 \text{ km/h}\)
- Aproximação para pi: \(\pi \approx 3\)
Passo 1: Converter as unidades para o Sistema Internacional (SI).
O raio \(r\) está em centímetros, vamos convertê-lo para metros:
\[r = 25 \text{ cm} = 25 \times 10^{-2} \text{ m} = 0.25 \text{ m}\]
A velocidade \(v\) está em km/h, vamos convertê-la para m/s:
\[v = 18 \frac{\text{km}}{\text{h}} = 18 \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{18000}{3600} \text{ m/s} = \frac{180}{36} \text{ m/s} = 5 \text{ m/s}\]
Passo 2: Relacionar velocidade linear, velocidade angular e frequência.
A velocidade linear \(v\) de um objeto em movimento circular uniforme está relacionada à sua velocidade angular \(\omega\) e ao raio \(r\) pela fórmula:
\[v = \omega r\]
A velocidade angular \(\omega\) está relacionada à frequência de rotação \(f\) pela fórmula:
\[\omega = 2\pi f\]
Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos a relação entre a velocidade linear e a frequência:
\[v = (2\pi f) r = 2\pi f r\]
Passo 3: Calcular a frequência \(f\) em rotações por segundo (Hz).
Podemos rearranjar a fórmula para isolar \(f\):
\[f = \frac{v}{2\pi r}\]
Agora, substituímos os valores convertidos e a aproximação de \(\pi\):
\[f = \frac{5 \text{ m/s}}{2 \cdot 3 \cdot 0.25 \text{ m}}\]
\[f = \frac{5}{6 \cdot 0.25}\]
\[f = \frac{5}{1.5}\]
Para facilitar a divisão, podemos escrever 1.5 como 3/2:
\[f = \frac{5}{3/2} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \text{ Hz}\]
Isso significa que o anemômetro realiza \(10/3\) rotações por segundo.
Passo 4: Converter a frequência de Hz para rpm (rotações por minuto).
Sabemos que 1 Hz equivale a 1 rotação por segundo. Como 1 minuto tem 60 segundos, para converter de rotações por segundo para rotações por minuto, multiplicamos por 60:
\[F_{\text{rpm}} = f_{\text{Hz}} \times 60\]
\[F_{\text{rpm}} = \frac{10}{3} \frac{\text{rotações}}{\text{segundo}} imes 60 \frac{\text{segundos}}{\text{minuto}}\]
\[F_{\text{rpm}} = \frac{10 \times 60}{3} \text{ rpm}\]
\[F_{\text{rpm}} = \frac{600}{3} \text{ rpm}\]
\[F_{\text{rpm}} = 200 \text{ rpm}\]
Portanto, a frequência de rotação do anemômetro é de 200 rpm.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é crucial entender os seguintes conceitos de Física, especificamente do Movimento Circular Uniforme (MCU):
- Velocidade Linear (v): É a velocidade escalar instantânea de um objeto que se move ao longo de uma trajetória circular. No caso do anemômetro, é a velocidade das conchas, que é igual à velocidade do vento. Unidade no SI: metros por segundo (m/s).
- Raio (r): É a distância do centro da trajetória circular até o objeto em movimento. Unidade no SI: metro (m).
- Velocidade Angular (\(\omega\)): Mede quão rapidamente o ângulo de um objeto em rotação muda. Unidade no SI: radianos por segundo (rad/s).
- Frequência (f): É o número de rotações (ou ciclos) completas que um objeto realiza por unidade de tempo. Unidade no SI: Hertz (Hz), que é equivalente a rotações por segundo (rps). Outra unidade comum é rotações por minuto (rpm).
- Relações Fundamentais no MCU:
- A relação entre velocidade linear, velocidade angular e raio é: \(v = \omega r\)
- A relação entre velocidade angular e frequência é: \(\omega = 2\pi f\)
- Combinando as duas, obtemos: \(v = 2\pi f r\)
- Conversão de Unidades: É fundamental saber converter unidades de medida:
- Distância: centímetros (cm) para metros (m). (1 m = 100 cm)
- Velocidade: quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s). (1 m/s = 3.6 km/h, ou 1 km/h = 1000m/3600s)
- Frequência: Hertz (Hz ou rps) para rotações por minuto (rpm). (1 Hz = 60 rpm)
