INSPER 2017/1
A via de acesso a uma empresa será pavimentada por lajotas hexagonais regulares. O projeto prevê que serão necessárias fileiras com lajotas para cobrir seus 5,1 metros de largura, conforme mostra o esquema a seguir.
Desconsiderando o espaço entre as lajotas, obtém-se que as lajotas encomendadas deverão ter arestas cuja medida, em centímetros, está entre
25,0 e 27,5.
30,0 e 32,5.
20,0 e 22,5.
27,5 e 30,0.
22,5 e 25,0.
Resolução
O problema pede para determinar o intervalo em que se encontra a medida da aresta (lado) das lajotas hexagonais regulares usadas para pavimentar uma via de 5,1 metros de largura.
1. Conversão de Unidades: Primeiro, convertemos a largura da via de metros para centímetros, pois as opções de resposta estão em centímetros. Sabemos que 1 metro = 100 centímetros.
\[ Largura = 5,1 \text{ m} = 5,1 \times 100 \text{ cm} = 510 \text{ cm} \]
2. Análise da Imagem e Geometria do Hexágono: A imagem mostra como as lajotas hexagonais são dispostas para cobrir a largura da via. A dimensão de 5,1 m (ou 510 cm) corresponde à altura total coberta pelas lajotas empilhadas verticalmente. Precisamos identificar qual dimensão do hexágono regular corresponde à altura que cada "fileira" contribui para a largura total.
Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros com lado L (a aresta do hexágono). A altura de um hexágono regular (a distância entre dois lados paralelos opostos) é igual a duas vezes a altura de um desses triângulos equiláteros.
A altura \(h_{tri}\) de um triângulo equilátero de lado L é dada por \( h_{tri} = \frac{L\sqrt{3}}{2} \).
Portanto, a altura \(h_{hex}\) do hexágono regular é:
\[ h_{hex} = 2 \times h_{tri} = 2 \times \frac{L\sqrt{3}}{2} = L\sqrt{3} \]
Observando a imagem, a largura total de 510 cm é coberta pelo empilhamento vertical das alturas dos hexágonos. Contando cuidadosamente na imagem, vemos que exatamente 10 alturas de hexágonos cobrem a largura total de 5,1 m.
3. Montagem da Equação: A largura total é a soma das alturas de 10 hexágonos:
\[ 10 \times h_{hex} = 510 \text{ cm} \]
Substituindo \( h_{hex} = L\sqrt{3} \):
\[ 10 \times (L\sqrt{3}) = 510 \]
4. Resolução para L: Agora, resolvemos a equação para encontrar o valor de L (a aresta):
\[ L\sqrt{3} = \frac{510}{10} \]
\[ L\sqrt{3} = 51 \]
\[ L = \frac{51}{\sqrt{3}} \]
Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando o numerador e o denominador por \( \sqrt{3} \):
\[ L = \frac{51 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{51\sqrt{3}}{3} \]
\[ L = 17\sqrt{3} \text{ cm} \]
5. Aproximação do Valor de L: Para encontrar o intervalo correto, precisamos aproximar o valor de \( 17\sqrt{3} \). Usamos a aproximação \( \sqrt{3} \approx 1,732 \).
\[ L \approx 17 \times 1,732 \]
Calculando a multiplicação:
\[ 17 \times 1,732 = 29,444 \]
Portanto, a medida da aresta L é aproximadamente 29,444 cm.
6. Identificação do Intervalo: Verificamos em qual dos intervalos dados o valor L ≈ 29,444 cm se encaixa:
- A: 25,0 e 27,5
- B: 30,0 e 32,5
- C: 20,0 e 22,5
- D: 27,5 e 30,0
- E: 22,5 e 25,0
O valor 29,444 está entre 27,5 e 30,0.
Conclusão: A medida da aresta da lajota, em centímetros, está entre 27,5 e 30,0.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, são necessários os seguintes conceitos:
- Geometria Plana - Hexágono Regular: Um hexágono regular possui 6 lados (arestas) de mesma medida (L) e 6 ângulos internos iguais. Ele pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros de lado L.
- Altura do Hexágono Regular: A altura de um hexágono regular é a distância entre dois lados paralelos opostos. Essa altura é igual a \( L\sqrt{3} \), onde L é a medida da aresta.
- Interpretação de Imagem: Habilidade de extrair informações quantitativas de um diagrama ou esquema visual, como contar o número de elementos que compõem uma dimensão total.
- Conversão de Unidades: Saber converter unidades de medida de comprimento, especificamente de metros (m) para centímetros (cm) (1 m = 100 cm).
- Aproximação Numérica: Capacidade de estimar o valor de expressões envolvendo raízes quadradas, como \( \sqrt{3} \approx 1,732 \), para comparar o resultado com intervalos numéricos.
