Petróleo Brasileiro S.A 2018
A variável aleatória X segue uma distribuição Uniforme( 0;1). Na certeza de X=x, a variável aleatória Y segue uma distribuição Uniforme (0;x).
O valor esperado (esperança matemática) de XY, E(XY), é, portanto,
Resolução
Para resolver esta questão, precisamos entender como calcular o valor esperado do produto de duas variáveis aleatórias quando uma delas depende da outra. Primeiramente, calculamos o valor esperado de Y (E(Y)) condicionado a X=x, o que é a média de uma distribuição Uniforme(0,x), ou seja, E(Y|X=x) = x/2. Depois, calculamos E(XY) utilizando a esperança total, que é a integral da esperança de Y em relação à distribuição de X, ou seja, integramos x/2 vezes a densidade de X de 0 até 1. A integral resulta em 1/6, que é o valor esperado de XY.
Dicas
Calcule o valor esperado de Y condicionado a X=x.
Pense no valor esperado de XY como uma integração da variável Y em relação à distribuição de X.
Use a fórmula da esperança total, que combina a esperança condicional de Y com a distribuição de X.
Erros Comuns
Assumir que as variáveis aleatórias são independentes quando na verdade uma depende da outra.
Esquecer de utilizar a esperança total para calcular o valor esperado de XY.
Realizar cálculos incorretos da integral necessária para a esperança total.
Distribuição Uniforme: Uma distribuição contínua onde todos os valores têm a mesma probabilidade de ocorrência dentro de um determinado intervalo.
Valor Esperado: O valor médio que se espera obter de uma variável aleatória após um grande número de experimentos.
Esperança Total: Método utilizado para calcular o valor esperado de uma variável aleatória composta pela combinação de duas outras variáveis aleatórias.
