UFT Tarde 2020
A Torre Eiffel é uma torre treliça de ferro do século XIX localizada no Champ de Mars, em Paris e que se tornou um ícone mundial da França. A torre, que é o edifício mais alto da cidade, tem \(324\) metros de altura e é o monumento pago mais visitado do mundo, com milhões de pessoas frequentando-o anualmente.
Uma visitante observa o topo da Torre Eiffel sob um ângulo de \(30^{\circ}\) com a horizontal, utilizando uma luneta com tripé. Sabe-se que a altura do equipamento, no momento da visualização, conforme a figura a seguir, é de \(1,70m.\)
Assinale a alternativa CORRETA que indica a distância x, em metros, que a luneta está do centro da base da Torre Eiffel:
\(\( Obs.:\ sen30^{\circ}=\frac{1}{2}\ e\ cos\ 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)\)
\(325,7\)
\(324\)
\(322,3\sqrt{3}\)
\(324\sqrt{3}\)
Resolução
Para descobrir a distância \(x\) entre a luneta e a base da Torre Eiffel basta modelar a situação como um triângulo retângulo:
- a hipotenusa é a linha de visada da luneta até o topo da torre;
- o cateto vertical é a diferença entre a altura da torre e a altura da luneta;
- o cateto horizontal é a distância procurada \(x\).
1. Ajuste da altura
Altura da torre: \(324\,\text{m}\).
Altura da luneta: \(1{,}70\,\text{m}\).
Logo, o cateto oposto (diferença de alturas) é
\[ h = 324 - 1{,}70 = 322{,}3\,\text{m}. \]2. Razão trigonométrica
O ângulo de elevação dado é \(30^{\circ}\). Num triângulo retângulo:
\[ \tan(30^{\circ}) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{h}{x}. \]Como \(\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) (pode-se obter de \(\tan = \tfrac{\sin}{\cos}\) usando os valores fornecidos), temos:
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{322{,}3}{x} \;\Rightarrow\; x = 322{,}3\,\sqrt{3}.\]3. Resultado
A distância da luneta ao centro da base da Torre Eiffel é
\[ \boxed{\;x = 322{,}3\,\sqrt{3}\;\text{m}\;}. \]Dicas
Erros Comuns
Ângulo de elevação: ângulo formado entre a horizontal do observador e a linha que liga seus olhos ao ponto observado acima dele.
Triângulo retângulo: apresenta um ângulo de \(90^{\circ}\). As razões trigonométricas relacionam seus lados:
- \(\sin = \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}\)
- \(\cos = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}\)
- \(\tan = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}\)
Para \(30^{\circ}\): \(\sin 30^{\circ}=\tfrac12\), \(\cos 30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) e \(\tan 30^{\circ}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\).
