UFRGS HIS MAT 2011
A superfície total do tetraedro regular representado na figura abaixo é \(9\sqrt{3}\). Os vértices do quadrilátero PQRS são os pontos médios de arestas do tetraedro, como indica a figura.
O perímetro do quadrilátero é
4.
6.
Resolução
1. Área de cada face do tetraedro
A superfície total do tetraedro regular é formada por 4 faces triangulares congruentes. Assim, se \(A_f\) é a área de uma face, então
\[4\,A_f = 9\sqrt{3}\;\Rightarrow\;A_f = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}.\]
2. Lado do triângulo equilátero
A área de um triângulo equilátero de lado \(a\) é \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2\). Igualando:
\[\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\;\Rightarrow\;a^2 = 9\;\Rightarrow\;a = 3.\]
3. Identificação dos pontos P, Q, R e S
Cada um deles é ponto médio de uma aresta. Escolhendo quatro arestas que formam um “cinturão” em torno do sólido (AB, BC, CD e DA, por exemplo), seus pontos médios conectam-se formando um quadrilátero plano (cinza na figura).
4. Comprimento do lado do quadrilátero
Considere duas arestas consecutivas que se encontram num mesmo vértice, por exemplo AB e BC. Se MAB e MBC são seus pontos médios, então o segmento MABMBC liga os pontos médios de dois lados de um triângulo equilátero (o triângulo ABC). Num triângulo qualquer, o segmento que une os pontos médios de dois lados mede metade do terceiro lado; logo:
\[M_{AB}M_{BC}=\dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{2}.\]
Por simetria, os quatro lados do quadrilátero têm esse mesmo comprimento.
5. Perímetro
\[P = 4\times\dfrac{3}{2}=6.\]
Portanto, o perímetro do quadrilátero PQRS é 6.
Dicas
Erros Comuns
- Área de um triângulo equilátero: \(A = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\).
- Um tetraedro regular possui 4 faces iguais; a área total é 4 vezes a área de uma face.
- Segmento que une pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede metade dele.
- Os 6 pontos médios das arestas de um tetraedro formam um octaedro regular; qualquer “cinturão” de 4 pontos é um paralelogramo (neste caso, um losango).
