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ITA 2014
A soma \(\sum_{n=1}^4\frac{log_{1/2}\sqrt[n]{32}}{log_{1/2}8^{n+2}}e\ igual\ a\)
a
\(\frac{8}{9}\).
b
\(\frac{14}{15}\).
c
\(\frac{15}{16}\).
d
\(\frac{17}{18}\).
e
1.
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Resposta
D
Resolução
Seja
\[S=\sum_{n=1}^{4}\frac{\log_{1/2}\sqrt[n]{32}}{\log_{1/2}8^{n+2}}.\]1. Trabalhando o logaritmo do numerador
Para cada \(n\):
\[\sqrt[n]{32}=32^{1/n}\Rightarrow\log_{1/2}\sqrt[n]{32}=\frac{1}{n}\,\log_{1/2}32.\]2. Trabalhando o logaritmo do denominador
\[\log_{1/2}8^{n+2}=(n+2)\,\log_{1/2}8.\]3. Formando a razão
\[ R_n=\frac{\frac{1}{n}\,\log_{1/2}32}{(n+2)\,\log_{1/2}8}=\frac{1}{n(n+2)}\;\frac{\log_{1/2}32}{\log_{1/2}8}. \]O quociente de logaritmos na mesma base independe da base:
\[ \frac{\log_{1/2}32}{\log_{1/2}8}=\frac{\ln32}{\ln8}=\frac{5\ln2}{3\ln2}=\frac{5}{3}. \]Logo,
\[R_n=\frac{5}{3}\,\frac{1}{n(n+2)}.\]4. Somatório
\[ S=\frac{5}{3}\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{n(n+2)}. \]Para telescopar, decomponha:
\[ \frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right). \]Então
\[ \sum_{n=1}^{4}\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{4}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right). \]Escrevendo termo a termo:
\[ \begin{aligned} &n=1:& \;1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\\ &n=2:& \;\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\\ &n=3:& \;\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}\\ &n=4:& \;\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12} \end{aligned} \]Somando:
\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{2}{15}+\frac{1}{12}=\frac{17}{15}. \]Multiplicando pelo \(\tfrac{1}{2}\):
\[ \sum_{n=1}^{4}\frac{1}{n(n+2)}=\frac{17}{30}. \]5. Resultado final
\[ S=\frac{5}{3}\cdot\frac{17}{30}=\frac{85}{90}=\frac{17}{18}. \]Portanto, a soma vale \(\boxed{\dfrac{17}{18}}\).
Dicas
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Comece simplificando cada logaritmo usando potências e raízes.
A razão de dois logaritmos na mesma base não depende da base.
Tente reescrever \(\frac{1}{n(n+2)}\) com frações parciais para telescopar.
Erros Comuns
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Esquecer que \(32=2^5\), levando a \(\log_{1/2}32=4\,\log_{1/2}2\).
Não perceber que a razão de dois logaritmos na mesma base elimina a base.
Esquecer o fator \(\tfrac{1}{2}\) da decomposição em frações parciais.
Somar apenas quatro termos de \(\frac{1}{n}\) sem subtrair \(\frac{1}{n+2}\) (não telescopar).
Revisão
- Propriedade do logaritmo de potências: \(\log_a b^k = k\,\log_a b\).
- Radiciação como potência: \(\sqrt[n]{b}=b^{1/n}\).
- Quociente de logaritmos na mesma base: \(\tfrac{\log_a m}{\log_a n}=\tfrac{\ln m}{\ln n}\) (a base se anula).
- Soma telescópica: Expressões do tipo \(\frac{1}{n(n+k)}\) podem ser decompostas em frações parciais para cancelar termos sucessivos.
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