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UNICENTRO 2017
A soma de todas as soluções da equação sen x + sen 2x = 0, no intervalo 0 ≤ x < 2π, é igual a
a
π
b
\(\frac{5\pi}{3}\)
c
2π
d
3π
e
5π
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Resposta
D
Resolução
\(\sen x + \sen 2x = 0\)
\(\sen a + \sen b = 2\sen\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow 2\sen\left(\dfrac{3x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow \sen\left(\dfrac{3x}{2}\right)=0 \;\text{ou}\; \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=0\)
1. \(\sen\left(\dfrac{3x}{2}\right)=0\)
\(\dfrac{3x}{2}=n\pi \;\Rightarrow\; x=\dfrac{2n\pi}{3}\).
Para \(0\le x<2\pi\):
\(n=0\;\Rightarrow x=0\)
\(n=1\;\Rightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}\)
\(n=2\;\Rightarrow x=\dfrac{4\pi}{3}\)
2. \(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=0\)
\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \;\Rightarrow\; x=\pi+2k\pi\).
No intervalo dado, só \(k=0\) satisfaz: \(x=\pi\).
Soluções: \(\{0,\;\tfrac{2\pi}{3},\;\pi,\;\tfrac{4\pi}{3}\}\)
Soma: \(0+\tfrac{2\pi}{3}+\pi+\tfrac{4\pi}{3}=\dfrac{9\pi}{3}=3\pi\).
\(\sen a + \sen b = 2\sen\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow 2\sen\left(\dfrac{3x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow \sen\left(\dfrac{3x}{2}\right)=0 \;\text{ou}\; \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=0\)
1. \(\sen\left(\dfrac{3x}{2}\right)=0\)
\(\dfrac{3x}{2}=n\pi \;\Rightarrow\; x=\dfrac{2n\pi}{3}\).
Para \(0\le x<2\pi\):
\(n=0\;\Rightarrow x=0\)
\(n=1\;\Rightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}\)
\(n=2\;\Rightarrow x=\dfrac{4\pi}{3}\)
2. \(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=0\)
\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \;\Rightarrow\; x=\pi+2k\pi\).
No intervalo dado, só \(k=0\) satisfaz: \(x=\pi\).
Soluções: \(\{0,\;\tfrac{2\pi}{3},\;\pi,\;\tfrac{4\pi}{3}\}\)
Soma: \(0+\tfrac{2\pi}{3}+\pi+\tfrac{4\pi}{3}=\dfrac{9\pi}{3}=3\pi\).
Dicas
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Use a identidade de soma de senos para fatorar a expressão.
Depois de fatorar, iguale cada fator a zero separadamente.
Liste as soluções de cada fator dentro de \([0,2\pi)\) antes de somar.
Erros Comuns
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Expandir \(\sen 2x\) como \(2\sen x\cos x\) e não conseguir fatorar a expressão corretamente.
Perder a solução \(x=0\) ao dividir por \(\sen x\) ou \(\cos \frac{x}{2}\).
Esquecer de filtrar apenas valores dentro de \([0,2\pi)\).
Somar as soluções em radianos mas esquecer de converter frações para denominador comum.
Revisão
- Identidade de soma: \(\sen a + \sen b = 2\sen\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\).
- Nulos de seno: \(\sen\theta=0 \Rightarrow \theta=n\pi\).
- Nulos de cosseno: \(\cos\theta=0 \Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\).
- Filtrar soluções para o intervalo exigido \(0\le x<2\pi\).
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