FGV-SP Economia Manhã 2013

Comecemos lembrando a principal propriedade dos logaritmos que será usada:

\(a\,\log b = \log\bigl(b^{\,a}\bigr)\)

Aplicando-a termo a termo, a soma dada na questão transforma‑se em um único logaritmo:

\[\log 1 + 2\log 2 + 3\log 3 + \dots + 10\log 10\;=\;\log\bigl(1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\,\dots,10^{10}\bigr).\]

Como o lado esquerdo é igual a \(\log x\), concluímos que

\[x = \prod_{k=1}^{10} k^{k}.\]

Agora, precisamos reescrever esse produto usando fatoriais para compará‑lo com as alternativas.

1.0 Reescrevendo com 10! elevado a 10

\(10! = 1\cdot2\cdot3\dots10\). Se elevamos \(10!\) à 10^a potência, cada termo \(k\) (de 1 a 10) aparece 10 vezes:

\[(10!)^{10}=1^{10}\,2^{10}\,3^{10}\dots10^{10}.\]

Para obter \(k^{k}\), precisamos que \(k\) apareça exatamente k vezes, e não 10. Logo, devemos “tirar” \((10-k)\) ocorrências de cada \(k\) (para \(k=2\) até \(9\)).

2.0 Como remover os fatores excedentes?

Cada fatorial \(m!\) (com \(m\le 9\)) contém um fator \(k\) para todo \(k\le m\). Assim, se multiplicarmos os fatoriais \(2!,3!,4!,\dots,9!\) e colocarmos no denominador, descontaremos exatamente (10−k) ocorrências de cada \(k\):

\[\prod_{m=2}^{9} m! = 2!\,3!\,4!\dots9!.\]

A contagem de cada fator \(k\) (2≤\(k\)≤9) no denominador é
quantidade de m tal que \(k\le m\le 9\) = \(10-k\).
Portanto, ao dividir, o expoente final de \(k\) será

10 − (10 − k) = k.

Exatamente o que precisamos!

3.0 Resultado final

Portanto,

\[x = \frac{(10!)^{10}}{2!\,3!\,4!\dots9!}.\]

Isso corresponde à alternativa D.