clear
UNICENTRO 2009/1
A solução da equação 1 + cos x + sen2x = 0 , sabendo-se que 0 ≤ x ≤ 2 é igual a
a
0
b
\(\frac{\pi}{2}\)
c
π
d
\(\frac{3\pi}{2}\)
e
2π
Ver resposta
Ver resposta
Resposta
C
Tempo médio
5 min
Resolução
A equação é
\[1+\cos x+\sin ^2x=0\]
Como \(\sin ^2x=1-\cos ^2x\), substituímos:
\[1+\cos x+(1-\cos ^2x)=0\]
Simplificando:
\[2+\cos x-\cos ^2x=0\]
Multiplicando por \(-1)\) para obter um quadrático "padrão":
\[\cos ^2x-\cos x-2=0\]
Faça \(t=\cos x\). Temos:
\[t^2-t-2=0\]
Fatorando:
\[(t-2)(t+1)=0\]
Logo, \(t=2\) ou \(t=-1\).
- \(t=2\) não é possível pois \(-1\le\cos x\le1\).
- Resta \(\cos x=-1\).
No intervalo \(0\le x\le 2\pi\), a única solução que satisfaz \(\cos x=-1\) é
\[x=\pi\]
Portanto, a alternativa correta é C.
Dicas
expand_more
Reescreva \(\sin^2x\) em função de \(\cos x\).
Você deverá chegar a um polinômio quadrático em \(\cos x\).
Lembre-se de que \(-1\le \cos x\le1\).
Erros Comuns
expand_more
Esquecer de aplicar a identidade \(\sin^2x=1-\cos^2x\) e tentar isolar \(x\) diretamente.
Aceitar \(t=2\) como solução sem lembrar que \(\cos x\) não ultrapassa 1.
Confundir os pontos em que \(\cos x=-1\) (\(x=\pi\)) com aqueles onde \(\cos x=0\) (\(x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\)).
Revisão
Identidades trigonométricas básicas
- \(\sin ^2x+\cos ^2x=1\Rightarrow\sin ^2x=1-\cos ^2x\).
Equações trigonométricas
- Transformar a equação para envolver apenas uma das funções (\(\cos\) ou \(\sin\)).
- Reduzir a um polinômio usando substituição \(t=\cos x\) (ou \(t=\sin x\)).
- Verificar se as raízes obtidas estão no intervalo válido \([-1,1]\).
- Traduzir o valor de \(t\) de volta para os possíveis ângulos dentro do intervalo solicitado.
Transforme seus estudos com a AIO!
Estudantes como você estão acelerando suas aprovações usando nossa plataforma de
IA + aprendizado ativo.
+25 pts
Aumento médio TRI
4x
Simulados mais rápidos
+50 mil
Estudantes
Sarah
Neste ano da minha aprovação, a AIO foi a forma perfeita de eu entender meus pontos fortes e fracos, melhorar minha estratégia de prova e, alcançar uma nota excepcional que me permitiu realizar meu objetivo na universidade dos meus sonhos. Só tenho a agradecer à AIO ... pois com certeza não conseguiria sozinha.
Débora Adelina
O que mais gostei foi a forma como a plataforma seleciona matérias em que tenho mais dificuldade, ajudando a focar no que realmente preciso de atenção. Ainda não consegui minha aprovação, mas contarei com a AIO por mais um ano pois a plataforma me aproximou desse objetivo tornando meus estudos mais direcionados!
Joice Neves
Faltavam 3 meses para o ENEM, eu estava desesperada e mentalmente fragilizada por não ver os resultados do meu esforço. Então, eu encontrei a AIO e, em 3 meses, eu consegui aumentar a minha nota média em 50 pontos. Meses depois, fui aprovada no curso que eu tanto desejei. Esse sonho se tornou real graças à AIO.