ESA 2011
A reta y = mx + 2 é tangente à circunferência de equação (x − 4)2 + y2 = 4 .
A soma dos possíveis valores de m é
0.
4/3 .
- 4/3 .
- 3/4 .
2.
Resolução
Desejamos encontrar os coeficientes angulares m para os quais a reta
\[ y = m x + 2 \]
é tangente à circunferência
\[ (x-4)^2 + y^2 = 4. \]
A condição de tangência impõe que o sistema formado pela reta e pela circunferência tenha exatamente uma solução.
Substituindo \(y = m x + 2\) na equação da circunferência:
\[(x-4)^2 + (m x + 2)^2 = 4.\]
Expandindo:
\[ (x^2 - 8x + 16) + (m^2 x^2 + 4 m x + 4) = 4. \]
\[ (1+m^2)x^2 + (-8 + 4m)x + 16 = 0. \]
Seja \(a = 1+m^2\), \(b = -8 + 4m\) e \(c = 16\). Para que haja uma única solução (reta tangente), o discriminante deve ser zero:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 0. \]
Calculando:
\[( -8+4m )^2 - 4(1+m^2)(16) = 0 \]
\[ 16(m-2)^2 - 64(1+m^2) = 0 \]
\[ 16m^2 - 64m + 64 - 64 - 64m^2 = 0 \]
\[ -48m^2 - 64m = 0 \]
Factorizando:
\[ -16(3m^2 + 4m) = 0 \]\[ m(3m + 4) = 0. \]
Assim,
\[ m = 0 \quad \text{ou} \quad m = -\frac{4}{3}. \]
A soma dos valores possíveis é
\[ 0 + \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{4}{3}. \]
Portanto, a alternativa correta é C.
Dicas
Erros Comuns
- Equação geral da circunferência: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) (centro \((a,b)\) e raio \(r\)).
- Reta na forma explícita: \(y = mx + n\) (coeficiente angular \(m\), intercepto \(n\)).
- Tangência reta–circunferência: Substitui-se a reta na equação da circunferência, gerando uma quadrática. Se a reta é tangente, o discriminante \(\Delta = 0\).
- Discriminante: Para ax²+bx+c=0, \(\Delta=b^2-4ac\). Se \(\Delta=0\), há exatamente uma raiz real (ponto de tangência único).
