FGV-RJ Administração, C. Sociais e Direito 2017

Para comparar as áreas, basta determinar os lados dos dois quadrados.

1. Quadrado inscrito em um círculo de raio \(R\)

O maior quadrado inscrito em um círculo tem seus quatro vértices sobre a circunferência. O diâmetro da circunferência coincide com a diagonal do quadrado.

Diâmetro: \(2R\).
Diagonal do quadrado: \(d = 2R\).

A diagonal e o lado do quadrado relacionam-se por \(d = a\sqrt{2}\). Assim,

\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}. \]

Área do quadrado inteiro:

\[ A_{\text{círculo}} = a^{2} = (R\sqrt{2})^{2} = 2R^{2}. \]

2. Quadrado inscrito em um semicírculo de raio \(R\)

Coloque o semicírculo com centro na origem, raio \(R\) e diâmetro sobre o eixo x. Para que o quadrado caiba totalmente no semicírculo, faz-se:

• A base do quadrado está sobre o diâmetro, de \((-a/2,0)\) a \((a/2,0)\);
• Os dois vértices superiores estão sobre a circunferência e têm coordenadas \((\pm a/2, a)\).

Esses vértices superiores devem satisfazer a equação da circunferência \(x^{2}+y^{2}=R^{2}\):

\[ \left(\frac{a}{2}\right)^{2} + a^{2} = R^{2} \;\Longrightarrow\; \frac{a^{2}}{4} + a^{2} = R^{2} \;\Longrightarrow\; \frac{5}{4} a^{2} = R^{2}. \]

Logo,

\[ a^{2} = \frac{4R^{2}}{5} \quad\text{(e a área do quadrado)}\; A_{\text{semicírculo}} = \frac{4R^{2}}{5}. \]

3. Razão entre as áreas

\[ \text{Razão} = \frac{A_{\text{semicírculo}}}{A_{\text{círculo}}} = \frac{\dfrac{4R^{2}}{5}}{2R^{2}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}. \]

Portanto, a razão procurada é \(\dfrac{2}{5}\).

Alternativa correta: D