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UNITAU Medicina 2011
A prolongada exposição à radiatividade é apontada como sendo a causa da morte, por anemia perniciosa, da pesquisadora Marie Curie. Muito tempo após o falecimento de Madame Curie, os seus documentos e suas anotações ainda apresentavam traços de radioatividade. Isso se deve ao longo tempo de atividade radioativa de alguns materiais como o rádio. Os átomos de rádio, cujo número atômico é 88 e o número de massa é 226, têm meia vida de T = 1622 anos. Considere uma massa de 1000 mg de rádio; a massa desintegrada desse material, após um ano, é de:
a
0,43 mg.
b
43,0 mg.
c
4,30 mg.
d
430 mg.
e
0,043 mg
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Resposta
A
Resolução
Seja \(m(t)\) a massa de rádio ainda não desintegrada no instante \(t\). O decaimento radioativo obedece à lei exponencial
\[m(t)=m_0\,\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]
onde:
- \(m_0 = 1000\,\text{mg}\) é a massa inicial;
- \(T_{1/2}=1622\,\text{anos}\) é a meia-vida do rádio;
- \(t = 1\,\text{ano}\).
1. Massa remanescente após 1 ano
\[m(1)=1000\,\left(\frac12\right)^{\frac{1}{1622}}\]
Como \(\dfrac{1}{1622}\ll 1\), podemos usar a aproximação de primeira ordem do exponencial:
\[\left(\frac12\right)^{\frac{1}{1622}}\;=\;e^{\frac{\ln(1/2)}{1622}}\;\approx\;1-\frac{\ln 2}{1622}\]
Sabendo que \(\ln 2\approx0,693\):
\[1-\frac{\ln 2}{1622}\;\approx\;1-\frac{0,693}{1622}\;\approx\;1-0,000427\]
Logo
\[m(1)\approx1000\,(1-0,000427)=999,573\,\text{mg}\]
2. Massa desintegrada
\[\Delta m = m_0 - m(1) = 1000-999,573 \approx 0,427\,\text{mg}\]
Arredondando para dois algarismos significativos: \(\boxed{0,43\,\text{mg}}\).
Dicas
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Escreva a fórmula \(m(t)=m_0\,2^{-t/T_{1/2}}\).
Calcule a fração que decaiu: \(1-2^{-t/T_{1/2}}\).
Lembre-se de multiplicar a fração pela massa inicial para obter a massa desintegrada.
Erros Comuns
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Utilizar regra de três simples em vez de exponencial.
Esquecer de converter a fração em miligramas (erro de escala).
Confundir massa remanescente com massa desintegrada.
Revisão
Conceitos-chave
- Decaimento radioativo: processo estatístico em que o número de núcleos decai exponencialmente no tempo.
- Meia-vida (\(T_{1/2}\)): intervalo necessário para que metade dos núcleos originais se desintegre.
- Lei de decaimento: \(N(t)=N_0\,2^{-t/T_{1/2}}\) ou \(m(t)=m_0\,2^{-t/T_{1/2}}\).
- Aproximação exponencial para \(t\ll T_{1/2}\): \(e^{-\lambda t}\approx1-\lambda t\).
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