ENEM 2009

A questão pede para comparar a probabilidade de acertar a quina (5 dos 6 números sorteados) na Mega Sena utilizando duas estratégias diferentes, ambas com um custo total de R\$ 126,00. O custo de uma aposta simples de 6 dezenas era R\$ 1,50.

Estratégia 1: Fazer 84 apostas simples de 6 dezenas.

O custo total é 84 * R\$ 1,50 = R\$ 126,00, que corresponde ao orçamento.

Para calcular a probabilidade de acertar a quina com uma aposta simples de 6 números, precisamos considerar:

• O número total de resultados possíveis no sorteio da Mega Sena (escolha de 6 dezenas de 60): \( C(60, 6) \)
• O número de resultados favoráveis para acertar a quina em uma aposta de 6 números: É preciso acertar 5 dos 6 números sorteados e errar 1.
  • Escolher 5 dos 6 números sorteados: \( C(6, 5) = 6 \)
  • Escolher 1 número que não foi sorteado (dos 60 - 6 = 54 restantes): \( C(54, 1) = 54 \)
  • Número de maneiras de acertar a quina em uma aposta = \( C(6, 5) \times C(54, 1) = 6 \times 54 = 324 \)

A probabilidade de acertar a quina com uma aposta simples é \( P_{\text{quina, 1 aposta}} = \frac{324}{C(60, 6)} \).

Com 84 apostas simples distintas, a probabilidade total (considerando as chances de cada aposta) é a soma das probabilidades individuais (assumindo que a probabilidade de ganhar em mais de uma aposta é desprezível, ou interpretando como o número total de chances):

\( P(\text{S1}) = 84 \times P_{\text{quina, 1 aposta}} = 84 \times \frac{324}{C(60, 6)} = \frac{27216}{C(60, 6)} \)

Estratégia 2: Fazer uma única aposta com 9 dezenas.

Primeiro, verificamos o custo. Uma aposta de 9 dezenas equivale a \( C(9, 6) \) apostas simples de 6 dezenas.

\( C(9, 6) = C(9, 9-6) = C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84 \)

O custo é \( 84 \times R\$ 1,50 = R\$ 126,00 \), que também corresponde ao orçamento.

Agora, calculamos a probabilidade de acertar a quina com uma aposta de 9 dezenas. Acertar a quina significa que, dos 6 números sorteados, exatamente 5 estão entre os 9 números escolhidos.

• Número de maneiras de escolher os 6 números sorteados de forma que 5 deles estejam entre os 9 escolhidos e 1 esteja entre os 51 não escolhidos (60 total - 9 escolhidos = 51):
  • Escolher 5 números dos 9 escolhidos: \( C(9, 5) \)
  • Escolher 1 número dos 51 não escolhidos: \( C(51, 1) \)
  • Número de resultados favoráveis = \( C(9, 5) \times C(51, 1) \)

\( C(9, 5) = C(9, 9-5) = C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126 \)

\( C(51, 1) = 51 \)

Número de resultados favoráveis = \( 126 \times 51 = 6426 \)

A probabilidade de acertar a quina com a aposta de 9 dezenas é:

\( P(\text{S2}) = \frac{6426}{C(60, 6)} \)

Comparação das Probabilidades

A questão pede a razão entre a probabilidade do segundo caso (S2) e a do primeiro caso (S1):

\( \frac{P(\text{S2})}{P(\text{S1})} = \frac{6426 / C(60, 6)}{27216 / C(60, 6)} = \frac{6426}{27216} \)

Simplificando a fração:

\( \frac{6426}{27216} = \frac{126 \times 51}{84 \times 324} = \frac{126 \times 51}{84 \times 6 \times 54} \)

Sabemos que \( 126 = \frac{3}{2} \times 84 \) ou \( 126/84 = 3/2 \). Ou simplificando numericamente:

Dividindo por 2: \( \frac{3213}{13608} \)

Dividindo por 3: \( \frac{1071}{4536} \)

Dividindo por 3: \( \frac{357}{1512} \)

Dividindo por 3: \( \frac{119}{504} \)

Dividindo por 7: \( \frac{17}{72} \)

A razão exata é \( \frac{17}{72} \). Agora, precisamos aproximar esse valor.

\( \frac{17}{72} \approx 0,2361 \)

Vamos comparar com as opções:

• A) 1 1/2 vez menor: \( P(S2) = P(S1) / (3/2) \implies P(S2)/P(S1) = 2/3 \approx 0,667 \)
• B) 2 1/2 vezes menor: \( P(S2) = P(S1) / (5/2) \implies P(S2)/P(S1) = 2/5 = 0,4 \)
• C) 4 vezes menor: \( P(S2) = P(S1) / 4 \implies P(S2)/P(S1) = 1/4 = 0,25 \)
• D) 9 vezes menor: \( P(S2) = P(S1) / 9 \implies P(S2)/P(S1) = 1/9 \approx 0,111 \)
• E) 14 vezes menor: \( P(S2) = P(S1) / 14 \implies P(S2)/P(S1) = 1/14 \approx 0,071 \)

O valor \( \frac{17}{72} \approx 0,2361 \) é mais próximo de \( \frac{1}{4} = 0,25 \).

Portanto, a probabilidade de acertar a quina no segundo caso (aposta única de 9 dezenas) é aproximadamente 4 vezes menor que no primeiro caso (84 apostas simples de 6 dezenas).