UESB Caderno 2 2011
A pipa, também conhecida como arraia ou papagaio, tem origem na China, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses e pode ter uma grande variedade de formas.
Para construir uma arraia de papel, foram utilizadas duas varetas — MN e OP — de comprimento 3y cm cada, e duas varetas — QR e ST — de comprimento 3x cm cada, além de papel, cola e linha.
Após as varetas serem fixadas formando a estrutura da pipa, a linha foi passada pelas extremidades P, R, M, S, e o papel foi colado, dando à arraia a forma do quadrilátero PRMS, representado na figura.
Sendo a área da região sombreada igual a 3dm2, pode-se afirmar que a área total da pipa, em m2, é igual a
0,39
0,45
0,56
0,60
0,75
Resolução
1. Identificando as informações dadas
- O retângulo sombreado é \(QNOT\) e possui dimensões \(OQ=x\) e \(OT=y\); logo \(A_{\text{ret}}=x\,y\).
- Foi informado que \(A_{\text{ret}}=3\text{ dm}^2\;\Rightarrow\;x\,y=3.\)
- As varetas fixadas têm os seguintes comprimentos: \(MN=OP=3y\) e \(QR=ST=3x\).
2. Ligando as varetas ao retângulo
No desenho, as pontas das varetas saem exatamente dos vértices do retângulo:
- Verticalmente: de \(N\) sobe-se até \(M\) e de \(O\) desce-se até \(P\). Como \(QN = OT = y\) e \(MN = OP = 3y\), sobram \(2y\) para cima (até \(M\)) e \(2y\) para baixo (até \(P\)).
- Horizontalmente: de \(Q\) vai-se até \(R\) e de \(T\) até \(S\). Como \(OQ = NT = x\) e \(QR = ST = 3x\), sobram \(2x\) para a direita (até \(R\)) e \(2x\) para a esquerda (até \(S\)).
Tomando \(O\) como origem de um sistema cartesiano obtem-se as seguintes coordenadas:
- \(O=(0,0)\)
- \(Q=(-x,0)\)
- \(N=(-x,-y)\)
- \(T=(0,-y)\)
- \(M=(-x,2y)\) (2 unidades \(y\) acima de \(Q\))
- \(R=(2x,0)\) (2 unidades \(x\) à direita de \(O\))
- \(P=(0,-3y)\) (2 unidades \(y\) abaixo de \(T\))
- \(S=(-3x,-y)\) (2 unidades \(x\) à esquerda de \(T\))
3. Área do quadrilátero \(PRMS\)
Aplicando a fórmula do polígono em coordenadas (ou "método do sapateiro") aos quatro vértices na ordem \(M\to R\to P\to S\):
\[ A=\frac{1}{2}\bigl|x_My_R+x_Ry_P+x_Py_S+x_Sy_M-\bigl(y_Mx_R+y_Rx_P+y_Px_S+y_Sx_M\bigr)\bigr|. \]Substituindo:
\[ \begin{aligned} x_My_R &=(-x)(0)=0,\\ x_Ry_P &=(2x)(-3y)=-6xy,\\ x_Py_S &=(0)(-y)=0,\\ x_Sy_M &=(-3x)(2y)=-6xy;\\[4pt] y_Mx_R &= (2y)(2x)=4xy,\\ y_Rx_P &= 0,\\ y_Px_S &= (-3y)(-3x)=9xy,\\ y_Sx_M &= (-y)(-x)=xy. \end{aligned} \]Logo
\[ \text{Soma 1}=-12xy, \quad \text{Soma 2}=14xy\; \Longrightarrow\; A=\dfrac{|14xy-(-12xy)|}{2}=\dfrac{26xy}{2}=13xy. \]4. Substituindo \(xy=3\text{ dm}^2\)
\[ A_{\text{pipa}}=13\cdot 3=39\text{ dm}^2. \]Como \(1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2\),
\[ A_{\text{pipa}}=\frac{39}{100}=0,39\text{ m}^2. \]5. Resposta
\(\boxed{0,39}\)
Dicas
Erros Comuns
- Decomposição de área: áreas complicadas podem ser encontradas dividindo a figura em polígonos mais simples (retângulos e triângulos).
- Fórmula do polígono em coordenadas: para um polígono cujos vértices estão em \((x_i,y_i)\), a área é \(\frac12\Bigl|\sum x_iy_{i+1}-y_ix_{i+1}\Bigr|\).
- Unidades de área: \(1\text{ m}=10\text{ dm}\Rightarrow1\text{ m}^2=100\text{ dm}^2\).
