UNICID 2014
A peça representada na figura tem o formato de uma coroa circular de centro O, cujo maior raio mede 20 cm. Sabe-se que o segmento AB mede 12 cm, e que a região em destaque ocupa a sexta parte da área da coroa.
Nesse caso, é correto afirmar que a área da região em destaque é, em cm2, igual a
48π.
68π.
60π.
42π.
56π.
Resolução
1. Identifique os dados dados.
• Coroa (anel) de centro \(O\)
• Raio externo \(R=20\,\text{cm}\)
• Segmento \(\overline{AB}\) está sobre um dos raios delimitadores do setor e liga o círculo interno ao externo.
Portanto, \(\overline{AB}=R-r\).
• \(\overline{AB}=12\,\text{cm}\)
• O setor rosado representa \(\dfrac16\) da área total da coroa.
2. Calcule o raio interno.
\[\overline{AB}=R-r\Rightarrow12=20-r\Rightarrow r=8\,\text{cm}.\]
3. Encontre a área da coroa inteira.
\[A_{\text{coroa}}=\pi\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr)=\pi(20^{2}-8^{2})=\pi(400-64)=336\pi\,\text{cm}^2.\]
4. Ache a área do setor rosado.
Como ele é \(\dfrac16\) da coroa:
\[A_{\text{setor}}=\dfrac16\cdot336\pi=56\pi\,\text{cm}^2.\]
5. Conclusão.
\(\boxed{56\pi}\,\text{cm}^2\)
Dicas
Erros Comuns
- Coroa circular: região entre dois círculos concêntricos de raios \(R\) (externo) e \(r\) (interno). Área: \(\pi(R^{2}-r^{2})\).
- Setor da coroa: fração da coroa limitada por dois raios formando certo ângulo central. Se for \(\tfrac1n\) da coroa, basta multiplicar a área total por \(\tfrac1n\).
- Se um segmento sobre o raio liga a circunferência interna à externa, seu comprimento é justamente \(R-r\).
