UNITINS Medicina 2022
A necessidade emergente de segurança em ambientes digitais tem suscitado a importância da criptografia, pois ela ajuda a proteger os dados dos usuários e das operações realizadas. O processo de criptografar utilizando matrizes exige, geralmente: um código, uma mensagem, uma matriz e sua inversa (chave).
Utilizando o código:
E a matriz \(A=\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right),\) uma mensagem (B) foi criptografada na forma da matriz \(C=\left(\begin{matrix}38&45\\78&105\ \end{matrix}\begin{matrix}45&18\\91&52\end{matrix}\right)\) de forma que C =A x B.
Sabe-se que a decriptação da mensagem pode ser obtida, multiplicando-se a chave pela matriz C, de forma que é possível afirmar que a matriz mensagem B apresenta:
Elemento \(b_{13}\) correspondente à letra A.
Elemento \(b_{22}\) correspondente à letra R.
Elemento \(b_{21}\) correspondente à letra P.
Elemento \(b_{24}\) correspondente à letra V.
Elemento \(b_{14}\) correspondente à letra A.
Resolução
Solução detalhada
Para descobrir a mensagem B, basta “desfazer” a criptografia multiplicando a chave (matriz inversa de A) pela matriz criptografada C.
1. Inversa da matriz-chave
\(A = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\)
Determinante: \(\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=-2\)
\[A^{-1}=\frac1{\det(A)}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix} = \frac1{-2}\begin{bmatrix}4 & -2\\-3 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2 & 1\\\tfrac32 & -\tfrac12\end{bmatrix}\]
2. Matriz criptografada
A forma gráfica indica um bloco 2 × 4:
\[C=\begin{bmatrix}38 & 45 & 45 & 18\\78 & 105 & 91 & 52\end{bmatrix}\]
3. Decriptando: \(B=A^{-1}\,C\)
Para cada coluna \(j\):
- \(b_{1j} = (-2)\,c_{1j} + 1\,c_{2j}\)
- \(b_{2j} = \tfrac32\,c_{1j} - \tfrac12\,c_{2j}\)
Coluna 1 (38; 78):
\(b_{11} = -2\cdot38+78 = 2\)
\(b_{21} = \tfrac32\cdot38-\tfrac12\cdot78 = 18\)
Coluna 2 (45; 105):
\(b_{12} = -90+105 = 15\)
\(b_{22} = 67{,}5-52{,}5 = 15\)
Coluna 3 (45; 91):
\(b_{13} = -90+91 = 1\)
\(b_{23} = 67{,}5-45{,}5 = 22\)
Coluna 4 (18; 52):
\(b_{14} = -36+52 = 16\)
\(b_{24} = 27-26 = 1\)
Logo:
\[B = \begin{bmatrix}2 & 15 & 1 & 16\\18 & 15 & 22 & 1\end{bmatrix}\]
4. Conversão número → letra
A tabela anexada define: A = 1, B = 2, …, P = 16, R = 18, V = 22.
• \(b_{13}=1\;\Rightarrow\;\text{A}\;
• \(b_{22}=15\;\Rightarrow\;\text{O}\;
• \(b_{21}=18\;\Rightarrow\;\text{R}\;
• \(b_{24}=1\;\Rightarrow\;\text{A}\;
• \(b_{14}=16\;\Rightarrow\;\text{P}\;
5. Conclusão
O único item que coincide com a análise é
A) Elemento \(b_{13}\) correspondente à letra A.
Dicas
Erros Comuns
- Matriz inversa: para uma matriz 2 × 2, \(A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}\).
- Criptografia matricial: a mensagem é escrita como matriz B, multiplicada pela chave A, gerando C. Para decodificar usa-se \(A^{-1}\).
- Multiplicação de matrizes: cada elemento resulta do produto escalar de linha por coluna.
- Correspondência letra-número: A = 1, B = 2, …, Z = 26.
