UNICID 2012
A mola elástica, de constante k, de uma espingarda de pressão fica comprimida 10 cm e, ao ser acionada, dispara um projétil, de massa 100 g, que deverá, ao sair do cano com velocidade de 100 m/s, incrustar-se em um carrinho de massa 900 g. Tal carrinho pode deslizar sem atrito pela mesa de tampo horizontal, constituindo, com o projétil, um sistema conservativo.
A constante k, em N/m, e a velocidade do carrinho com o projétil, em m/s, imediatamente após a colisão valem, respectivamente,
2,0 × 105 e 10.
2,0 × 105 e 1,0.
1,0 × 105 e 10.
1,0 × 105 e 1,0.
1,0 × 105 e 0,10.
Resolução
1. Cálculo da constante elástica \(k\)
Quando a mola é liberada, sua energia potencial elástica converte‑se totalmente em energia cinética do projétil (desprezando perdas):
\[\tfrac12 k x^{2}=\tfrac12 m v^{2}\]
Como o fator \(\tfrac12\) aparece em ambos os membros, ele pode ser cancelado:
\[k=\dfrac{m v^{2}}{x^{2}}\]
- \(m = 100\,\text{g}=0{,}10\,\text{kg}\)
- \(v = 100\,\text{m/s}\)
- \(x = 10\,\text{cm}=0{,}10\,\text{m}\)
\[k = \dfrac{0{,}10\; (100)^{2}}{(0{,}10)^{2}} = \dfrac{0{,}10 \times 10^{4}}{10^{-2}} = 10^{5}\,\text{N/m}\]
2. Velocidade do conjunto carrinho + projétil
Na colisão (perfeitamente inelástica) não há forças externas horizontais relevantes, logo o momento linear se conserva:
\[m_{p} v_{p}= (m_{p}+m_{c})\,V\]
- \(m_{p}=0{,}10\,\text{kg}\)
- \(v_{p}=100\,\text{m/s}\)
- \(m_{c}=900\,\text{g}=0{,}90\,\text{kg}\)
\[V=\dfrac{0{,}10\times100}{0{,}10+0{,}90}=\dfrac{10}{1{,}00}=10\,\text{m/s}\]
Resposta final: \(k = 1{,}0\times10^{5}\,\text{N/m}\) e \(V = 10\,\text{m/s}\).
Dicas
Erros Comuns
- Energia potencial elástica: \(E_{pe}=\tfrac12 k x^{2}\).
- Energia cinética: \(E_{c}=\tfrac12 m v^{2}\).
- Conservação de energia em sistemas sem perdas: energia potencial da mola se transforma na cinética do projétil.
- Conservação do momento linear: em ausência de forças externas, o momento total antes da colisão iguala-se ao depois.
- Colisão perfeitamente inelástica: corpos unem-se e seguem com velocidade comum; energia mecânica não se conserva, mas o momento sim.
